МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Митина Т.В.

Методическое пособие для выполнения домашней контрольной работы по математической статистике

Москва, 2010.

АННОТАЦИЯ

Данное методическое пособие предназначено для оказания помощи студентам очной, очно-заочной и заочной форм обучения при выполнении типового расчета по математической статистике.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ

Пусть в результате наблюдений получена некоторая выборка значений случайной величины X: . Необходимо проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности данной случайной величины. Для этого проведем статистическую обработку полученных опытных данных, которая включает в себя следующее:

1. Построить гистограмму.

2. Составить интервальный ряд распределения.

3. Вычислить оценки математического ожидания (М.О) и средне квадратического отклонения (С.К.О.)

4. Используя критерий согласия (Пирсона) выяснить, не противоречит ли принятая гипотеза о виде закона распределения опытным данным.

5. Построить кривую нормального закона, совместив её с графиком гистограммы распределения, приведя в соответствие масштабы.

6. Построить доверительный интервал для М.О. и С.К.О. с надежностью (доверительной вероятностью) γ=0,95.

Замечание. п.п. 5,6 выполняются, если опытные данные не противоречат гипотезе о нормальном распределении генеральной совокупности случайной величины.

Обработка результатов

1.Построение гистограммы относительных частот.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению (плотность относительной частоты).

На бумаге строим оси координат. В зависимости от значений , которые имеют определенный числовой разряд (единицы, десятки, сотни, десятые, сотые и т.д.), выбираем масштаб на оси Ох. На оси Оу будем отмечать относительную частоту. Масштаб по этой оси рассчитывается по формуле:

(1)

Перейдем к выборке. Находим наименьший элемент выборки и наибольший . Задаем число и число h-длину интервала группировки (иногда уже задано). На оси Ох отмечаем точки:

,

где число k выбирается так, чтобы . Таким образом, при построении, получим k непересекающихся интервалов , а интервал содержит все элементы выборки.

Далее, рассмотрим последовательно все элементы выборки, начиная с . Находим интервал , содержащий , и на высоте С над этим интервалом проводим черту. Аналогично наносим значения , и т.д. все n значений выборки. Если некоторый элемент попадает в интервал, который уже содержит черту, то проводим вторую черту на высоте 2С над осью Ох (т.е. на высоте С над первой). Если элемент попадает в интервал, который содержит две черты, то проводим третью черту на высоте 3С над осью Ох (т.е. на высоте С над второй), и т.д. до тех пор, пока не нанесем все значения выборки (рис.1).

Замечание. Если элемент выборки попадает на границу интервала, то наносим черту на интервал, находящийся правее данного значения.

Рис.1

2.Составление интервального ряда распределения.

Введем следующие обозначения:

- число черточек над интервалом , т.е. число элементов выборки, попавших в .

- середина интервала .

Набор пар составляет интервальный ряд распределения. Запишем его в виде таблицы 1, данные которой мы получили выше. В этой таблице 1 в первом столбце перечислим номера интервалов , во втором столбце запишем координаты , в третьем – число черточек, построенных над интервалом . Получим первые три столбца в таблице1.

Замечание. Таблица 1 состоит из 11 столбцов и k+1-строки.

Замечание. Проверяем выполнение равенства:

(2)

Замечание. Высота столбика из черточек над интервалом равна , поэтому фигура, построенная на рис. 1, является гистограммой относительных частот.

Таблица 1

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
№
1
2
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
k