2. Опуклість і угнутість функції. Економічна інтеграція поняття опуклої функції

Наведемо основні означення та теореми. Нехай задано n-вимірний лінійний простір Rn. Функція  , що задана на опуклій множині  , називаєтьсяопуклою, якщо для будь-яких двох точок   та   з множини X і будь-яких значень   виконується співвідношення:

. (8.27)

Якщо нерівність строга і виконується для  , то функція   називається строго опуклою.

Функція  , яка задана на опуклій множині  , називається угнутою, якщо для будь-яких двох точок   та   з множини X і будь-якого  справджується співвідношення:

. (8.28)

Якщо нерівність строга і виконується для  , то функція   називається строго угнутою.

Слід зазначити, що опуклість та угнутість функції визначаються лише відносно опуклих множин у  , оскільки за наведеними означеннями разом з двома будь-якими точками   та   множині X належать також точки їх лінійної комбінації:   для всіх значень  , що можливо лише у разі, коли множина Xє опуклою.

Теорема 8.2. Нехай   — опукла функція, що задана на замкненій опуклій множині X, тоді будь-який локальний мінімум   на цій множині є і глобальним.

Доведення. Допустимо, що в точці   функція   має локальний мінімум, тоді як глобальний мінімум досягається в точці  , отже, виконуватиметься нерівність  . Через те що   — опукла функція, для будь-яких значень   справджується співвідношення:

. (8.29)

Множина Х опукла, тому точка   при   також належить цій множині. Враховуючи, що , нерівність (8.29) матиме вигляд:

;

.

Значення   можна вибрати так, щоб точка   була розташована як завгодно близько до  . Тоді отримана остання нерівність суперечить тому, що   — точка локального мінімуму, оскільки існує як завгодно близька до неї точка, в якій функція набуває меншого значення, ніж у точці  . Тому попереднє допущення неправильне. Теорему доведено.

Теорема 8.3. Нехай   — опукла функція, що визначена на опуклій множині Х, і крім того, вона неперервна разом з частинними похідними першого порядку в усіх внутрішніх точках Х. Нехай   — точка, в якій  . Тоді в точці   досягається локальний мінімум, що збігається з глобальним.

Доведення. З рівності (8.12) для   знаходимо:

;

  ;

  .

Через те що існують частинні похідні першого порядку, функцію   можна розкласти в ряд Тейлора:

,

де   — градієнт функції f, обчислений у точці  ,  . Тоді:

 

.

Переходимо до границі при  , отримаємо:

  . (8.30)

Ця умова виконується для будь-яких внутрішніх точок Х1 та Х2 і є необхідною і достатньою умовою опуклості f(X).

Якщо функція f(X) неперервна разом з частинними похідними першого порядку і угнута на множині Х, то аналогічно попередньому результату маємо:

  .

Припустимо, що Х0 — довільна точка множини Х, тоді, взявши  ,  , а також за умовою теореми  , в нерівності (8.30) маємо:

  .

Отже, опукла функція f(X) досягає свого глобального мінімуму на множині Х у кожній точці, де  . Теорему доведено.

Як наслідок теореми можна показати, що коли Х замкнена, обмежена знизу, опукла множина, то глобального максимуму опукла функція f(X) досягає на ній у одній чи кількох точках (при цьому допускається, що в точці Х значення функції скінченне). Застосовуючи за розв’язування таких задач процедуру перебору крайніх точок, можна отримати точку локального максимуму, однак не можна встановити, чи є вона точкою глобального максимуму.

Для угнутих функцій отримані результати формулюють так. Нехай f(X) — угнута функція, що задана на замкненій опуклій множині  . Тоді будь-який локальний максимум f(X) на множині Х є глобальним. Якщо глобальний максимум досягається в двох різних точках множини, то він досягається і на нескінченній множині точок, що лежать на відрізку, який сполучає ці точки. Для строго угнутої функції існує єдина точка, в якій вона досягає глобального максимуму.

Градієнт угнутої функції f(X) у точках максимуму дорівнює нулю, якщо f(X) — диференційовна функція. Глобальний мінімум угнутої функції, якщо він скінченний на замкненій обмеженій зверху множині, має досягатися в одній чи кількох її крайніх точках за умови скінченності функції f(X) у кожній точці цієї множини.