3. Общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Решите задачу Коши

Опр. Линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение все члены которого первой степени относительно функции и ее производных, а коэффициенты - постоянные.

Решение дифференциального уравнения вида будем искать в виде , где k = const.

Т.к. то или . При этом уравнение называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения.

Как и любое алгебраическое уравнение степени 2, характеристическое уравнение имеет 2 корня. Каждому корню характеристического уравнения k_i соответствует решение дифференциального уравнения.

В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо 2 различных действительных корня, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные.

Сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.

2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:

a) если корни к₁ и к₂ уравнения действительные и различные, то частными решениями уравнения являются функции и . Общее решение имеет вид

б) если корни к₁ и к₂ уравнения действительные и равные, то в этом случае имеем только одно частное решение . Общее решение имеет вид .

в) если корни уравнения комплексные: и , то частными решениями уравнения являются и . Общее решение имеет вид .

Решите задачу Коши

Составляем характеристическое уравнение и находим его корни. Корни действительные и различные. Общее решение имеет вид . , .

При подстановке полученных значений постоянных в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши). .

4. Метод Лагранжа для линейного неоднородного уравнения второго порядка. Решите уравнение

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение (1) Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения и каким- то образом отыскать одно частное решение неоднородного уравнения. Обычно оно находится подбором. На практике удобно применять метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Для этого сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения в виде: Затем, полагая коэффициенты функциями от х, ищется решение неоднородного уравнения (2) Находим производные : Подберем функции так, чтобы Тогда Найденные значения подставляем в уравнение (1). Получим:

или же

Так как и - решения уравнения (1), то выражения в квадратных скобках равны нулю. Таким образом, для нахождения функций надо решить систему уравнений:

Решая эту систему, получим , где - известные функции. Интегрируя, найдем . Найденные значения подставляем в равенство (2) и получим искомое частное решение.

Решите уравнение Решаем линейное однородное уравнение . Уравнение не содержит , поэтому замена .

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

.

Составляем систему уравнений:

5. Метод неопределенных коэффициентов для линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Напишите вид частного решения уравнения Неопределенные коэффициенты искать не надо.

Опр. Линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение все члены которого первой степени относительно функции и ее производных, а коэффициенты - постоянные.

Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения и каким- то образом отыскать одно частное решение неоднородного уравнения. Обычно оно находится подбором. Существует более простой способ нахождения частного решения, в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения (метод неопределенных коэффициентов).

Различают следующие случаи:

1. Правая часть линейного неоднородного ДУ имеет вид:

где - многочлен степени n.

Тогда частное решение ищется в виде: . Здесь Q_n(x)- многочлен той же степени, что и P_n(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число a является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

2. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

Здесь Р₁(х) и Р₂(х) – многочлены степени m₁ и m₂ соответственно.

Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

где число r показывает сколько раз число является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q₁(x) и Q₂(x) – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней m₁ и m₂.

Если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.

Написать вид частного решения уравнения Неопределенные коэффициенты искать не надо. Решим соответствующее однородное уравнение: , . Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения. Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше. Тогда частное решение ищется в виде: . Т.е.