1.2. Дифференциальные уравнения однородной длинной линии

Рис.1

Рассмотрим элементарный участок однородной линии с распределенными параметрами длиной Δх, находящейся на расстоянии х от начала линии (рис.1).

Здесь введены следующие обозначения:

u, i – напряжение и ток на входе в элементарный участок линии соответственно;

u+Δu, i+Δi – напряжение и ток на выходе элементарного участка линии соответственно;

L₀Δx, C₀Δx, R₀Δx, G₀Δx – полные индуктивность, емкость, сопротивление и проводимость данного участка линии.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа:

или

(1.1)

В соответствии с первым законом Кирхгофа:

или

(1.2)

Разделив обе части (1.1) и (1.2) на Δх, переходя к пределу при Δх→0 и пренебрегая членами более чем первого порядка малости, получим:

(1.3)

Система уравнений (1.3) образует искомую систему уравнений для расчета u(x,t) и i(x,t) в длинных линиях. В литературе эти уравнения известны под названием телеграфных уравнений. Совместное решение телеграфных уравнений при заданных начальных и граничных условиях позволяет в каждом конкретном случае решить поставленную задачу по определению u(x,t) и i(x,t).

Если за начало отсчета принять конец линии, т.е. ввести координату x' (рис.1), то уравнения примут вид:

Несмотря на внешнюю простоту телеграфных уравнений их решение для произвольных сопротивлений генератора и нагрузки и сигнала произвольной формы представляет собой сложную, хотя и разрешимую принципиально задачу.

Ниже будут рассматриваться случаи установившегося режима гармоничных колебаний в линии.

1.3. Решение телеграфных уравнений для гармонического режима

Пусть напряжение и ток в линии изменяются гармонически со временем. Тогда эти величины могут быть представлены в следующем виде:

где и - комплексные амплитуды напряжения и тока, зависящие от продольной координаты.

Используя метод комплексных амплитуд, преобразуем телеграфные уравнения (1.3):

(1.4)

Исключим из этих уравнений величину , для чего продифференцируем первое уравнение системы (1.4) и подставим в него значение из второго уравнения. Тогда:

(1.5)

Аналогично, исключая из (1.4) величину , получим уравнение относительно İ

(1.6)

Обозначим и перепишем уравнение (1.5) и (1.6) в следующем виде:

(1.7)

Общее решение первого уравнения системы имеет вид:

(1.8)

где постоянные интегрирования А₁ и А₂ определяются граничными условиями.

Ток İ получается подстановкой (1.8) в первое уравнение системы (1.4):

(1.9)

где

(1.10)

Постоянные и Zв найденного общего решения получили название соответственно коэффициента распространения и волнового сопротивления. Как , так и Zв являются комплексными величинами, которые можно представить в следующей форме:

(1.11)

Вещественную часть α коэффициента распространения называют коэффициентом затухания, а мнимую часть β – коэффициентом фазы.

Коэффициенты распространения , затухания α, фазы β и волновое сопротивление линии Zв относятся к числу так называемых волновых или вторичных параметров линии. Волновые параметры зависят от значения первичных параметров линии и являются функциями частоты. Смысл этих коэффициентов будет рассмотрен ниже.