2.5. Функция.

Функция - это такое бинарное отношение f, которое каждому элементу x из множества X ставит в соответствие один и только один элемент y из множества Y, то есть, выполняется xfy.

Например, функцией будут отношения между фамилией студента и номером группы, между результатами сессии и размером стипендии.

Отношение "<" функцией не является, так как для каждого числа можно указать много превышающих его чисел. Функцией не будет и отношение "быть братом", поскольку человек может иметь много братьев, а может не иметь их совсем.

2.6. Отношение как базовое понятие в реляционных

базах данных.

Пусть предметная область есть множество O объектов. Объект описывается множеством атрибутов (номер, фамилия, возраст и т. д.). Множество принимаемых атрибутом значений называется его доменом. Тогда все экземпляры объекта имеют однотипное описание:

O  D₁ D₂... D_n,

где n – число атрибутов объекта O;

D_i – домен i – го атрибута, i = 1, ,n.

Объект удобно описывается таблицей, строками которой является множество упорядоченных кортежей (d₁, d₂, ... , d_n) таких, что

d₁  D₁, d₂  D₂, ..... , d_n D_n.

Но между таблицей и отношением имеется существенная разница. В отношении нет упорядоченности, то есть нельзя сказать “возьмите шестой элемент отношения”. Поэтому в базах данных вводится понятие ключа как множества атрибутов, однозначно идентифицирующих конкретный объект.

Строки таблицы называются записями, а столбцы – полями.

Например, рассмотрим реляционную базу данных СТУДЕНТ (рис.2.1).

По-английски "relation" означает "отношение".

СТУДЕНТ

Таблица 2.1

Учетный номер	Фамилия, Инициалы	Группа	Курс	Дата рождения	Место рождения
1462 2881 2085 2879	Петров П.П. Иванов И.И. Сидоров С.С. Андреев А.А.	МЕ-83 АЕ-70 ЭЕ-90 АЕ-64	2 3 1 4	02/10/75 14/01/74 25/06/77 10/12/73	Екатеринбург Ирбит Нижний тагил Челябинск

База данных СТУДЕНТ имеет шесть полей и четыре записи. Например, третье поле имеет имя "Группа". Соответствующий домен

D₃ = {МЕ – 02, АЕ – 02, МЕ – 02, АЕ – 02}.

Вторая запись будет иметь вид:

(2881, Иванов И.И., АЕ – 02, 3, 14/01/84, Ирбит).

Ключом в базе данных СТУДЕНТ может являться атрибут “Учетный номер”.

2.7. Контрольные задания

1. На множестве X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} заданы отношения: а) R = ”<”

б) R= “>”; в) R = “ ”; г) R = “=”; д) R = “< >”.

Построить матрицу С бинарного отношения R на множестве Х. Определить свойства отношений.

2. В доме имеется три квартиры. В первой живет семья из двух человек, во второй – один человек, в третьей – семья из трех человек. Взяв в качестве множества Х число людей, проживающих в доме, построить матрицу С бинарного отношения R = “жить в одной квартире”.

3. Элементы алгебры логики

3.1. Силлогизмы Аристотеля.

Логика как искусство рассуждений зародилась в глубокой древности. Начало науки о законах и формах мышления связывают с именем Аристотеля. Аристотель (384 - 322 гг. до н. эры) - древнегреческий философ и ученый. Он создал теорию силлогизмов (syllogismos - рассуждение). С их помощью Аристотель сформулировал условия, при которых из истинных посылок получаются истинные следствия.

Рассмотрим пример силлогизма.

1. Все люди смертны.

2. Петр 1 - человек.

3. Петр 1 смертен.

Первое предложение называется большой посылкой. В нем сообщается некоторый общий факт. Второе предложение называется малой посылкой. В нем сообщается о некотором частном случае, связанном с общим фактом из первого предложения. Третье предложение есть некоторое умозаключение, которое мы выводим из большой и малой посылок. При этом мы переносим некоторое свойство с общего случая на частный. В данном силлогизме это свойство означает, что люди смертны.

Такой характер рассуждений называется дедукцией.

Дедуктивный метод позволяет исходя из истинности одних положений выводить истинность других. В приведенном силлогизме истинность большой и малой посылок не вызывает сомнения. Однако всегда ли верны дедуктивные рассуждения?

Рассмотрим пример.

1. Экзамены расшатывают нервную систему.

2. Студенческая жизнь полна экзаменов.

2. Студенческая жизнь расшатывает нервную систему.

Наверно, некоторые не согласятся с большой посылкой и считают, что "экзамены закаляют нервную систему". Таким образом, истинность силлогизма зависит от содержательного истолкования его посылок.

Хотя Аристотель остался на уровне содержательных умозаключений, его логика означала громадный шаг вперед на пути формализации знаний. Она выдержала испытания временем.

19 век был характерен бурным развитием математики и техники. Логика же оставалась на уровне силлогизмов Аристотеля. Переворот в логике совершил английский ученый Джордж Буль (1815 - 1864 гг.). Он исключил из силлогизмов содержательный смысл и стал записывать их с помощью математической символики.

Выкинув из логики семантику и создав алгебру логики, Д.Буль сделал второй после Аристотеля шаг на пути формализации знаний.