МИНИСТЕРСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ

УРАЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ СИБИРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ ДИСКРЕТНОЙ

МАТЕМАТИКИ

Учебно-методическое пособие

Для специальности 060800

«Экономика и управление на предприятии (в связи)»

Екатеринбург, 2002

составитель: В.П. Некрасов

Рецензент: В.П. Битюцкий

Элементы дискретной математики: учебно-методическое пособие/ В.П. Некрасов. Екатеринбург: Уральский филиал СибГУТИ, 2001.

Учебное пособие представляет собой конспект лекций по дисциплине “Дискретная математика”. В пособии изучаются основные разделы дискретной математики. В первой главе пособия рассматриваются базовые понятия теории множеств, во второй главе — отношения на множествах, в третьей главе даются основы алгебры логики и реализации логических схем в элементных базисах. Четвертая глава посвящена основным понятиям теории графов. В пятой главе даются интуитивное понятие и оценки временной сложности алгоритма. В шестой главе рассмотрена задача построения минимального остового дерева, в седьмой главе — задача раскраски графа, в восьмой главе — задача сетевого планирования. В девятой главе даются элементы абстрактной теории конечных автоматов. В десятой главе рассмотрены способы уточнения понятия алгоритма — машина Тьюринга и нормальный алгоритм Маркова. Приводятся варианты контрольных заданий, что позволяет использовать пособие для практических занятий.

Пособие предназначено для студентов очного и заочного обучения специальностей 201000 "Многоканальные телекоммуникационные системы", 071700 “Физика и техника оптической связи”.

Подготовлено кафедрой общематематических

и естественнонаучных дисциплин.

 Уральский филиал Сибирского

Государственного Университета

Телекоммуникаций и

Информатики, 2001.

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

Введение

1. Элементы теории множеств

1.1. Понятие множества

1.2. Способы задания множеств

1.3. Свойства множеств

1.4. Конечные и бесконечные множества

1.5. Подмножества.

1.6. Множество как абстракция

1.7. Операции над множествами

1.8. Декартово произведение множеств.

1.9. Контрольные задания

2. Отношения

2.1. Общие положения.

2.2. Задание отношений

2.3. Виды отношений

2.3.1. Рефлективность

2.3.2. Симметричность

2.3.3. Транзитивность

2.4. Отношение эквивалентности

2.5. Функция

2.6. Отношение как базовое понятие в реляционных

базах данных

2.7. Контрольные задания

3. Элементы алгебры логики

3.1. Силлогизмы Аристотеля

3.2. Высказывания

3.3. Исчисление высказываний и релейно -

контактные схемы

3.4. Функции алгебры логики

3.5. Равносильности алгебры логики

3.6. Одна логическая задача

3.7. Реализация функций в элементных базисах

3.8. Совершенная нормальная дизъюнктивная форма

3.9. Совершенная нормальная конъюнктивная форма

3.10. Реализация операции суммирования в компьютере

3.11. Контрольные задания

4. Элементы теории графов

4.1. История возникновения

4.2. Основные понятия

4.3. Матрицы графа

4.4. Деревья

4.5. Раскраска

5. Элементы теории алгоритмов

5.1. Интуитивное понятие алгоритма

5.2. Свойства алгоритма

5.3. Вычислительные и комбинаторные алгоритмы

5.4. Поиск решения комбинаторной задачи

5.5. Асимптотические оценки сложности алгоритма

5.6. Комбинаторный взрыв

6. Полиномиальные алгоритмы

6.1. Построение минимального остового дерева

6.1.1. Жадный алгоритм

6.1.2.Алгоритм Прима

6.2. Контрольные задания

7. Эвристические алгоритмы

7.1. Алгоритм последовательной раскраски

7.2. Контрольные задания

8. Сетевое планирование

8.1. Основные понятия

8.2. Параметры сетевого планирования

8.3. Вычисление параметров сетевого графика

8.4. Контрольные задания

9. Элементы абстрактной теории автоматов

9.1. Определение абстрактного автомата

9.2. Методы задания автоматов

9.3. Связь между моделями Мили и Мура

9.4. Эквивалентность автоматов

9.4.1. Преобразование автомата Мура в автомат Мили

9.4.2. Преобразование автомата Мили в автомат Мура

9.5. Контрольные задания

10. Уточнение понятия алгоритма

10.1. Машина Тьюринга

10.2. Нормальный алгоритм Маркова

Литература

Введение

Вычислительной технике присущ дискретный характер процессов. Поэтому теоретической основой их описания является дискретная математика. В пособии изучаются основные разделы дискретной математики: элементы теории множеств, теории отношений, алгебры логики, теории графов, теории алгоритмов, абстрактной теории автоматов. Приводятся варианты контрольных заданий, что позволяет использовать пособие для практических занятий.

1. Элементы теории множеств

1.1.Понятие множества.

Множество является базовым понятием многих разделов математики. Поэтому оно не определяется, так же, как не определяется точка, являясь базовым понятием евклидовой геометрии, и число, которое является базовым понятием теории чисел.

Множество наделим именем, по которому одно множество будем отличать от другого.

Множество состоит из элементов. Принадлежность элемента x множеству М обозначается x  М, а не принадлежность - x  М.

Примеры.

М₁ - множество всех целых чисел;

М₂ - множество всех целых чисел от 1 до 100;

М₃ - множество студентов данной группы, сдавших последнюю

сессию на 4 и 5;

М₄ - множество студентов данной группы, сдавших последнюю

сессию без двоек;

М₅ - множество звезд на небе;

М₆ - множество людей, побывавших на Венере.

Для каждого конкретного множества элементов существует универсальное множество или  универсум.

Примеры. Множество М₁ является универсумом для множества М₂, а также для любого множества целых чисел.

Для множеств М₃  и М₄  универсумом является множество студентов.

Образно говоря, универсум - это предметная область, которой принадлежат элементы данного множества. Универсум обозначают символом U.

1.2. Способы задания множеств.

Множество может быть задано перечислением элементов, которые заключаются в фигурные скобки.

Примеры. А={a,b,c}-множество, состоящее из трех элементов - a, b, c.

Z = {1,2,3,5,7,11,13,17,19} - множество простых чисел, не превышающих 20.

Второй способ задания множеств - это описание свойств элементов.

Если все элементы x множества М обладают свойством Р(x), то это множество описывается как М ={x |P(x) }.

Примеры. Z ={x |x <20 и x-простое число}.

М₄ ={x |x - студент и x - сдал последнюю сессию без двоек}.

Наконец, множество может быть задано с помощью процедуры.

Пример. A = {x x = 2n, n  N}, где N– множество целых чисел.

1.3. Свойства множеств.

Каждое множество имеет следующие свойства:

1. Все элементы множества принадлежат некоторому универсуму.

2. Каждый элемент множества уникален, то есть может быть включен во множество только один раз.

3. Каждое множество должно иметь характеризующий признак, по которому всякий элемент универсума может быть либо включен в данное множество, либо нет.

Пример. А = {a, b, c} B = {a, a, a, b, c, c}

По второму свойству A является множеством, а B нет.

При этом во множестве не существует никакого заранее заданного упорядочения элементов. По этому свойству элемент b  A не является по отношению к элементу а А ни следующим, ни предыдущим.

Множества

{ a, b, c} = {b, c, a}