2.3. Виды отношений.
Пусть R - бинарное отношение на множестве X.
2.3.1. Рефлективность.
Отношение R называется рефлективным, если для любого x X имеет место xRx.
Например, отношение "<" является рефлексивным.
Отношение " = " для множества X из примера 1 также является рефлексивным. В данном случае единицы будут находиться на главной диагонали.
Отношение R называется антирефлективным, если для любого x X не имеет места xRx.
На главной диагонали матрицы антирефлективного отношения содержатся только нули.
Отношение может быть ни рефлексивным, ни антирефлективным.
2.3.2. Симметричность.
Отношение R называется симметричным, если при выполнении соотношения xiRxj выполняется и соотношение xjRxi.
Матрица C для такого отношения симметрична относительно главной диагонали.
Например, симметричными будут отношения "x и y имеют общий делитель, отличный от единицы", "быть братом".
Отношение R называется антисимметричным, если из того, что выполняется xiRxj и xjRxi следует xi = xj.
Отношение может быть ни симметричным, ни антисимметричным.
2.3.3. Транзитивность.
Отношение R называется транзитивным, если из соотношений xiRxj и xjRxк следует соотношение xiRxк.
В матрице C транзитивного отношения для каждой пары единичных элементов, один из которых расположен в i - й строке и j - м столбце, а другой - в j - й строке и k - м столбце, обязательно существует единичный элемент i -й строки и k - го столбца.
Например, транзитивным будет отношение "<".
2.4. Отношение эквивалентности
Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлективно, симметрично и транзитивно.
Отношение эквивалентности определяет признак, который допускает разбиение множества X на непересекающиеся подмножества - классы эквивалентности.
Например, отношение "работать в одной комнате" на множестве сотрудников лаборатории является отношением эквивалентности и разбивает это множество на непересекающиеся подмножества людей, рабочие места которых находятся в одном помещении.
Пример. Пусть помещение лаборатории состоит из трех комнат и число сотрудников X равно 8.
X = {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8}
X = X1 X2 X3
X1 = {x1, x2, x3} X2 = {x4} X3 = {x5, x6, x7, x8}
Матрица C отношения "работать в одной комнате" будет иметь следующий вид:
C
x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8
x
1
1 1 1 0 0 0 0 0
x2 1 1 1 0 0 0 0 0
x3 1 1 1 0 0 0 0 0
x4 0 0 0 1 0 0 0 0
x5 0 0 0 0 1 1 1 1
x6 0 0 0 0 1 1 1 1
x7 0 0 0 0 1 1 1 1
x8 0 0 0 0 1 1 1 1
Привлекательной особенностью отношения эквивалентности является то обстоятельство, что внутри каждого класса объекты обладают сходными свойствами. Поэтому для характеризации всего множества объектов X достаточно исследовать по одному представителю из каждого класса.