1.8.Декартово произведение множеств

Под кортежом или вектором понимают упорядоченный набор элементов. Элементы, образующие кортеж, называются его координатами или компонентами. В отличие от множества, координаты кортежа могут совпадать. Кортеж заключают в угловые скобки

" < > ".

Пример:

A = < a, b, c > B = < a, a, b, c, a, c >

Как A, так и B являются кортежами. При этом в кортеже задан порядок элементов. В кортеже A координата a стоит на первом месте, координата b - на втором и координата c - на третьем.

Число координат кортежа называется его длиной или размерностью.

Декартовым  или прямым произведением множеств A и B (AB) называют множество всех кортежей (a, b) таких, что a  A и b  B.

Пример: A = { a, b} B = {1,2,3}

AB = {a1,a2,a3,b1,b2,b3}

Мощность декартова произведения множеств равна произведению мощностей этих множеств.

A  B = A  B

1.9. Контрольные задания

Даны четыре пересекающихся произвольным образом множества в виде кругов Эйлера. Выделить три несмежные области и описать их с помощью теоретико-множественных операций.

2. Отношения

2.1. Общие положения

Пусть, например, даны два множества - X = {x₁, x₂, ... , x_k, ... ,x_n} и Y = {x₁, x₂, ... ,x_k}.

Самое простое, что можно сказать об элементах этих множеств это установить связи между конкретным элементом и конкретным множеством, между двумя данными элементами или множествами.

Мы говорим:

а) элемент x₂ принадлежит множеству X, x₂  X;

б) элемент x₂ принадлежит множеству Y, x₂  Y;

в) множество Y является составной частью множества X, Y  X, поскольку элементы множества Y и первые k элементов множества X совпадают.

Говорят, что элементы множества могут находиться в некоторых отношениях между собой, с элементами других множеств или с самими множествами.

Примеры:

x₂  X, x₂  Y - отношения принадлежности;

Y X - отношение включения.

Отношения между парами объектов называют бинарными (двуместными). Они встречаются наиболее часто и хорошо изучены.

Примеры.

"=" - равенство; " <, > " - неравенство;

"быть братом"; "жить в одном доме".

В общем, виде бинарное отношение может быть записано как xRy, где R - отношение, устанавливающее связь между элементом x  X и элементом у Y.

2.2. Задание отношений.

Формально бинарное отношение можно определить, как подмножество декартова произведения: R  X Y, то есть как множества пар xy между элементами x  X и y Y.

Для задания отношений можно использовать все способы, приведенные выше (перечисление, описание свойств, процедура). Кроме того, для задания отношений используют матричный способ.

Матрица бинарного отношения на множестве X, X= n - это квадратная матрица C порядка n, в которой элемент c_ij, стоящий на пересечении i - й строки и j - го столбца, определяется следующим образом:

1, если x_i Rx_j

C_ij=

0, в противном случае

Пример 1 .

X = {1,2,3,4,5,6}

Для отношения x <  y, x  X, y  X матрица C будет иметь следующий вид:

C

1 2 3 4 5 6

11 1 1 1 1 1

2  0 1 1 1 1 1 

3  0 0 1 1 1 1 

4  0 0 0 1 1 1 

5  0 0 0 0 1 1

6  0 0 0 0 0 1 

Пример 2.

Для отношения "x и y имеют общий делитель, отличный от единицы", x  X, y  X матрица C будет иметь следующий вид:

C

1 2 3 4 5 6

1

2  0 1 0 1 0 1 

3  0 0 1 0 0 1 

4  0 1 0 1 0 1 

5  0 0 0 0 1 0

6  0 1 1 1 0 1