Для каждого алгоритма u из класса к1 существует равносильный ему алгоритм l из класса к2.

Обычно доказательство состоит в описании процедуры, по заданному алгоритму( или программе) U класса К1 строят такой алгоритм(программу) L класса К2, который средствами, доступными в классе К2, имитирует работу U.

10.2. Нормальный алгоритм Маркова

Алгоритмическая система – это всякий общий способ задания алгоритма.

Алгоритмическая система, созданная А.А.Марковым, основана на соответствии между словами в абстрактном алфавите. Она включает в себя объекты двоякой природы: элементарные операторы и элементарные распознаватели.

Алгоритм задают в виде граф-схемы - ориентированного графа, вершинами которого являются элементарные операторы и распознаватели. На вход граф - схемы алгоритма (ГСА) подается некоторое входное слово р.

Кроме того, задана система подстановок, реализующих отображение

р_i q_i, i=1,…,k.

Распознаватель проверяет условие – имеет ли место вхождение р_i во входное слово р. Если ДА, то алфавитный оператор заменяет первое слева вхождение слова р_i на слово q_i. Если НЕТ, то управление передается на вход следующего распознавателя.

Например ГСА для трех подставок (К=3) имеет три вершины распознавателя(РВ₁,РВ₂,РВ₃) и три операторные вершины (ОП₁,ОП₂,ОП₃).

Граф имеет два типа

вершин:

а) вершины – распоз -

наватели;

б) операторные вер-

шины;

Кроме того, имеются

входная и выходная

вершины.

Этот алгоритм может быть задан и в виде блок – схемы алгоритма, используемой при программировании на алгоритмических языках.

И з схемы следует, что каждая подстановка р_i q_i, i=1,…,k циклически применяется до тех пор, пока имеются вхождения p_i в p.

После первого применения подстановки p_i q_i, i=1,…,k входное слово p = p⁽¹⁾ преобразуется в слово p⁽¹⁾, после второго применения - в слово p⁽²⁾ и так далее, пока после последнего применения подстановки не преобразуется в выходное слово p⁽⁴⁾ = q .

Алгоритм применим к слову p, если оно преобразуется в слово q через конечное число шагов.

Например, если р=bcbaab, а подстановки заданы как ba ab, bc ba,

bb ac, то работа алгоритма будет иметь следующий вид.

р=bcbaab bcabab bcaabb baaabb baaaac=q.

Нормальными алгоритмами называются алгоритмы, ГСА которых удовлетворяют следующим условиям:

1. Номера вершин – распознавателей упорядочиваются от 1 до n.

2. Дуги, исходящие из операторных вершин, подсоединяются либо к первой вершине – распознавателю, либо к выходной вершине. В первом случае подстановка называется обычной, во втором – заключительной.

3. Входная вершина связана дугой с первым распознавателем.

Рассмотренная выше ГСА для трех подстановок, может быть преобразована в ГСА , соответствующей нормальному алгоритму, например, следующим образом:

р=bcbaab bcabab bcaabb

baaabb abaabb aababb

aaabbb aaaacb.

Для нормального алгоритма преобразование входного слова р=bcbaab в выходное слово q будет иметь следующий вид:

Пример. Задан алфавит А={+, 1} и система подстановок:

‘1+1’ ‘11’ , ‘1’ .

Обычная Заключительная

подстановка подстановка

Пусть дано входное слово р=’11+11+1’. Оно перерабатывается алгоритмом в строку:

‘11+11+1’ ‘1111+1’ ‘11111’

Алгоритм реализует сложение единиц.

Эквивалентный ему алгоритм можно задать с помощью системы подстановок:

‘+’ , ‘1’

Преобразование слова р в q будет аналогично.

Либо же система подстановок может иметь и такой вид:

‘ 1+’ ‘+1’ , ‘+1’ ‘1’, ‘1’

Тезис Маркова

Для любого алгоритма в произвольном конечном алфавите А можно построить эквивалентный ему нормальный алгоритм.

Все известные до сих пор алгоритмы нормализуемы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алферова З.В. Теория алгоритмов. – М.: Статистика, 1973. – 164 с.

2. Баранов С.И. Синтез микропрограммных автоматов. – Л.: Энергия, 1974. – 216 с.

3. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. - М.: Высшая школа, 1986. - 311c.

4. Знакомьтесь: компьютер. - М.: 1989. - 240c.

5. Информатика в понятиях и терминах /под ред. Извозчикова В.А. - М.: Просвещение, 1991. - 208c.

6. Информатика: Энциклопедический словарь для начинающих/Сост. Д.А.Поспелов. - М.: Педагогика - Пресс, 1994. - 352c.

7. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. – М.: МЦНМО, 2000. – 960 с.

8. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. - М.: Энергия, 1980. - 344c.

9. Некрасов В.П. Теоретическая информатика. Ч.2. Элементы дискретной математики: учебное пособие. – Екатеринбург: УГГГА, 1996. - 54 с.

10. Некрасов В.П. Теоретическая информатика. Ч.4. Комбинаторные алгоритмы: учебное пособие. – Екатеринбург: УГГГА, 1997. - 55 с.

11. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики: Учеб. Пособие. – М.: МАИ, 1992. – 264 с.

12. Поспелов Д.А. Фантазия или наука. На пути к искусственному интеллекту. - М.: Наука, 1982. - 224c.

13. Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. – М.: Мир, 1980. – 478 с.

14. Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы. – М.: Мир, 1984. – 455 с.

15. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. - Киев: Технiка, 1977. - 768c.

16. Теория и методы автоматизации проектирования вычислительных систем. /Под ред. Брейера М. - М.: Мир, 1977. - 285c.

17. Ульман Дж. Основы систем баз данных. - М.: Финансы и статистика, 1983. - 336с.

18. Харари Ф. Теория графов. - М.: Мир, 1973. - 302с.

19. Шевченко В.Е. Некоторые способы решения логических задач. - Киев: Вища школа, 1979. - 80с.

20. Яглом И.М. Необыкновенная алгебра. - М.: Наука, 1968. - 72с.