9.4.2. Преобразование автомата Мили в автомат Мура

Ограничение: у автомата Мили не должно быть преходящих состояний, то есть состояний, в которые не входит ни одна дуга, но из которого есть исходящие дуги.

Н апример, у автомата Мили S₇ преходящим S₇

является состояние а₁.

a₂

a₁ a₃

Задан автомат Мили:

S_A={A_A, Z_A, W_A,_A, _A, a_1A}, где A_A={a₁,…a_m,…,a_M}, Z_A={z₁,…,z_f,…z_F}, W_A={w₁,…,w_g,…,w_G};

_A реализует отображение A_AZ_A в A_A^;

_A реализует отображение A_AZ_A на W_A;

a_1A=a₁-начальное состояние.

Требуется построить автомат Мура: S_B={A_B, Z_B, W_B, _B, _B, a_1B}, у которого

Z_B= Z_A={z₁,…,z_f,…z_F}, W_B= W_A={w₁,…,w_g,…,w_G}.

Для определения A_B каждому состоянию a_sA_A поставим в соответствие множество А_s всевозможных пар вида (a_s, w_g), где w_g- выходной сигнал, приписанный входящей в a_s дуге:

A_S ={(a_s, w_g)(a_m, z_f)=a_s и (a_m, z_f)= w_g}

w₁

w₂

a_s A_S ={(a_s ,w₁), (a_s, w₂), (a_s, w₃)}

w₁

w₃

Вместо одного состояния a_s в автомате Мура будет три состояния.

Множество состояний автомата S_B получим как объединение множеств

A_S (S=1,…,M): A_B=

Определение функции выходов _B:

Каждому состоянию автомата Мура S_B, представляющему собой пару вида (a_s,w_g), ставится в соответствие выходной сигнал w_g.

Определение функции переходов:

Если в автомате Мили S_A был переход _A(a_m, z_f)=a_s и при этом выдавался выходной сигнал _A(a_m, z_f)=w_k, то в S_B будет переход из множества состояний A_m, порождаемых a_m, в состояние (a_s, w_k) под действием входного сигнала z_f.

w_i a_m, w_i z_f

z_f w_k

a_m a_s  A_m a_s, w_k

w_j

z_f

a_m, w_j

В качестве начального состояния a_1B можно взять любое из состояний множества A₁, которое порождается начальным состоянием a₁ автомата S_A.

Пример. Дан автомат Мили S₁

S₁ a₁

a₂ a₃

w₁ z₂

	a1	a2	a3			a1	a2	a3
z1	a3	a1	a1		z1	w1	w1	w2
z2	a1	a3	a2		z2	w1	w2	w1

A_A={a₁, a₂, a₃}, Z_A={z₁, z₂}, W_A={w₁, w₂}, a_1A=a₁.

Функции  и  определяются графом автомата либо таблицами переходов и выходов. Требуется построить эквивалентный ему автомат Мура.

Получим

Z_B= Z_A={z₁, z₂}, W_B= W_A={w₁, w₂}.

Построим множество состояний A_B:

A₁={(a₁, w₁), (a₁, w₂)}={b₁, b₂}.

A₂={(a₂, w₁)}={b₃}.

A₃={(a₃, w₁), (a₃,w₂)}={b₄, b₅}.

A_B=A₁A₂A₃={b₁, b_2, b₃, b₄, b₅}. a_1B=b₁.

С каждым состоянием, представляющим собой пару, отождествим выходной сигнал, являющийся вторым элементом этой пары:

_B(b₁)=(b₃)=(b₄)=w₁; _B(b₂)=(b₅)=w₂.

S₈

b₁

b₂ b₅

b₃ b₄

Построим функцию _B.

1. В автомате Мили: a₃=(a₁, z₁) В автомате Мура: b₄=(b₁, z₁)

w₁=(a₁, z₁) b₄=(b₂, z₁)

a₁ b₁, b₂ w₁=(b₄)

(a₃, w₁)b₄ 

2. В автомате Мили: a₁=(a₁, z₂) В автомате Мура: b₁=(b₁, z₂)

w₁=(a₁, z₂) b₁=(b₂, z₂)

a ₁ b₁, b₂ w₁ z₂ w₁=(b₁)

(a₁, w₁)b₁  b₂ b₁

3. В автомате Мили: a₁=(a₂, z₁) В автомате Мура: b₁=(b₃, z₂)

w₁=(a₂, z₁) w₁=(b₁)

a ₂ b₃ w₁

(a₁, w₁)b₁  b₃ b₁

4. В автомате Мили: a₃=(a₂, z₂) В автомате Мура: b₅=(b₃, z₂)

w₂=(a₂, z₂) w₂=(b₅)

a ₂ b₃ w₂

(a₃, w₂)b₅  b₃ b₅

5. В автомате Мили: a₁=(a₃, z₁) В автомате Мура: b₂=(b₄, z₁)

w₂=(a₃, z₁) b₄ b₂=(b₅, z₁)

a₃ b₄, b₅ w₂ w₂=(b₂)

(a₁, w₂)b₂  b₅ b₂

6. В автомате Мили: a₂=(a₃, z₂) В автомате Мура: b₃=(b₄, z₂)

w₁=(a₃, z₂) b₄ b₃=(b₅, z₂)

a₃ b₄, b₅ w₁ w₁=(b₃)

(a₂, w₁)b₃  b₅ b₃

Отмеченная таблица переходов автомата S₈ будет иметь вид:

	w1	w2	w1	w1	w2
	b1	b2	b3	b4	b5
z1	b4	b4	b1	b2	b2
z2	b1	b1	b5	b3	b3

Примем за начальное состояние b₁.

П

z1	z1	z2	z1	z2	z2
b1	b4	b2	b1	b4	b3	b5
w1	w1	w2	w1	w1	w1	w2

одавая на вход автомата S₈ входное слово =z₁ z₁ z₂ z₁ z₂ z₂, получим выходное слово как в автоматах Мили S₁ и S₆ со сдвигом на один такт.

Входное слово:

Последовательность состояний:

Выходное слово:

Заменив b_i на a_i, i=1,…,5, получим автомат Мура S₅.

Снимем с автомата Мили ограничение на наличие преходящих состояний. Рассмотрим пример.

Д ан автомат Мили S₇ S₇

Z_A=Z_B={z₁, z₂}; W_A=W_B={w₁, w₂}; a_1A=a₁. z₁ w₂

A₁=; a₂

A₂={(a₂, w₁), (a₂, w₂)}={b₁,b₂}

A₃={(a₃, w₁), (a₃, w₂)}={b₃,b₄} z₁ a₁ a₃

К множеству состояний A₁A₂A₃={b₁, b_2, b₃, b₄} добавим состояние (a₁, -)=b₅, порождаемое переходящим состоянием a₁, считая, что выходной сигнал в состоянии a₁ не определен. a_1B=b₁.

1 ) a₂=(a₁, z₁) 2) a₂=(a₂, z₁) b₁

w₁=(a₁, z₁)  b₅ b₁ w₂=(a₂, z₁)  b₂ b₂

b₁

3 ) a₃=(a₁, z₂) 4) a₃=(a₂, z₂) b₄

w₁=(a₁, z₂)  b₅ b₃ w₂=(a₂, z₂)  b₂

b₃ b₃

5) a₂=(a₃, z₂) 6) a₂=(a₃, z₁) b₂

w₁=(a₃, z₂)  b₄ b₁ w₂=(a₃, z₁)  b₄

В итоге получим автомат Мура S₉, отмеченная таблица переходов которого будет иметь вид:

	w1	w2	w1	w2	-
	b1	b2	b3	b4	b5
z1	b2	b2	b2	b2	b1
z2	b4	b4	b1	b1	b3

S₉ b₁

b₅ b₂

b₄ b₃

Из вышеизложенного следует, что при переходе от автомата Мура к автомату Мили число состояний автоматов не меняется, в то время как при обратном переходе число состояний в автомате Мура, как правило, возрастает. Таким образом, если перейти от автомата Мили к автомату Мура, а затем обратно, то получим два эквивалентных автомата Мили с различным числом состояний.