1.4. Конечные и бесконечные множества.

Два множества равны между собой, если каждому элементу первого множества взаимно однозначно можно сопоставить элемент второго множества.

Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечные множества состоят из конечного числа элементов. Число элементов конечного множества называется его  мощностью и обозначается |М|.

Примеры. М₂, М₃, М₄ - конечные множества;

М₁, М₅ - бесконечные множества;

|М2|=100.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначает-

ся . Понятие пустого множества выполняет роль нуля в арифметике и введено из-за необходимости описания без элементных множеств.

Пример. М₆ = 

1.5. Подмножества.

Множество А является подмножеством множества В, если каждый элемент множества A является элементом множества В.

Это обозначается А  В или А  В.

Обозначение А  В называется строгим включением множества А в множество В. При этом не допускается равенства множеств А и В. При нестрогом включении А в В (А  В) допускается равенство А и В.

Примеры. М₂  М₁ М₃  М₄

Элементы множества сами могут являться множествами.

Множество, элементами которого являются все подмножества данного множества А, называют множеством подмножеств и обозначают P(А).

Пример. А = {a, b, c}

A1 = {a, b, c} A2 = {a, b} A3 = {a, c} A4 = {b, c}

A5 = {a} A6 = {b} A7 = {c} A8 = {}

P(A) = {A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8}

1.6. Множество как абстракция.

В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с множествами.

В магазине мы имеем дело с множеством различных наименований товара. Проводник железнодорожного вагона общается с множеством пассажиров.

Если представить множество как абстракцию, то чтобы определить - является ли некоторая совокупность объектов множеством, следует ответить на вопросы - может ли некоторый объект из этой совокупности быть включен в нее много раз и важен ли порядок расположения элементов во множестве?

Если получены оба ответа "нет", то совокупность объектов может быть представлена множеством.

Примеры: Группа людей в обществе филателистов образует множество. Пассажиры общественного транспорта в данный момент времени также образуют множество.

И в том, и в другом случае возможно лишь однократное включение конкретного человека в образуемое множество, и не важен порядок элементов во множестве.

Совокупность натуральных чисел от 1 до 100, полученная с помощью генератора случайных чисел, множеством не является. Вполне вероятно, что некоторые числа могут повторяться.

Важность восприятия множества как абстракции хорошо видна при программировании. Программист должен уметь определять возможность представления множеством некоторой совокупности объектов. Дело в том, что над множествами определен набор математических операций, что позволяет их удобно использовать.

1.7. Операции над множествами.

Множества можно образовывать при помощи операций над другими множествами.

Пусть даны два множества А и В.

А = {a, b, c} B = {b, c, d}

Объединение А  В - это множество всех элементов, принадлежащих А или В.

Пример. А В = {a, b, c, d}

Пересечение А  В - это множество всех элементов, принадлежащих одновременно как А, так и В.

Пример. А В = {b, c}

Разность А \ В - это множество, состоящее из всех элементов А, не входящих в В.

Пример. А \ В = {а}

Симметрическая разность А  В - это множество элементов, принадлежащих либо А, либо В, но не обоим вместе.

Пример. А В = {a, d}

Наглядно операции над множествами изображаются в виде кругов Эйлера. Пусть множества А и В являются подмножествами некоторого универсума U. Универсум будем представлять множеством точек прямоугольника, а подмножества А и В - множеством точек кругов. Множества, получаемые в результате операций над множествами А и В, будем изображать заштрихованными областями (рис.1.1).

а) А  В б) А  В в) А \ В г) А  В

Рис.1.1. Операции над множествами

Результатом выполнения некоторых из этих операций могут быть пустые множества.

Пример. A = {a, b, c} B = {d, e} A B = 

Множества A и B, для которых A B = , назовем непересекающимися. Ниже показаны круги Эйлера для непересекающихся множеств А и В и отношения включения А  В (рис.1.2.).

а) A B =   б) А  В

Рис.1.2. Круги Эйлера для непересекающихся

множеств и отношения включения

Пусть множество А принадлежит универсуму U - A  U.

Множество Ā=U\A называется дополнением множества А (рис.1.3.).

Рис.1.3. Дополнение множества

Примеры. Описать заштрихованную область S с помощью теоретико-множественных операций (рис.1.4).

S=(A B) (B C)

S=A\B\C

S=(A\B\C) ((B C)\A)

Рис.1.4. Примеры теоретико-множественных

операций