7. Эвристические алгоритмы
Как говорилось выше, большинство комбинаторных задач имеют оценку сложности алгоритма не ниже экспоненциальной. Это означает, что для них нахождение оптимального решения в реальных задачах большой размерности невозможно. Поэтому следует отказаться от поиска оптимального решения и искать приближенное.
Алгоритмы называются эвристическими, если для поиска решения используются приближенные методы. В них применяется ограниченная тактика поиска оптимального решения, заключающаяся в том, что, используя какую-либо здравую идею, на дереве перебора выделяют поддерево, на котором ищут наилучшее решение. Поскольку ищется локальный, а не глобальный оптимум, то не гарантируется, что выбранное решение совпадает с оптимальным.
Для эвристических алгоритмов характерны следующие основные правила:
не отменяй принятых решений;
упаковывая вещи, начинай с самых громоздких предметов.
Особенности применения эвристических алгоритмов рассмотрим на примере задачи раскраски графа.
Дан
граф G(X,U),
=n,
=m.
Требуется раскрасить граф G в минимальное
число цветов таким образом, чтобы никакие
две смежные вершины не были раскрашены
в один цвет.
7.1. Алгоритм последовательной раскраски
Алгоритм последовательной раскраски графа в минимальное число цветов имеет следующий вид.
1. Упорядочить вершины графа в порядке не возрастания степеней.
2. Положить i=0.
3. Положить i=i+1.
4. Просматривая вершины графа в порядке не возрастания степеней, окрашивать неокрашенные вершины в цвет i . Окрашиваемая в цвет i вершина не должна быть смежной с уже окрашенными в данный цвет вершинами.
5. Если все вершины графа окрашены, то перейти к п.6, иначе - к п.3.
6. Конец алгоритма.
Пример. Применим последовательный алгоритм для раскраски графа G, изображенного на рис. 7.1. Упорядочим его вершины от 1 до n.
G
9
8
Рис. 7.1. Граф G
В массиве А (рис. 7.2а) содержатся степени вершин графа G. Индекс массива соответствует номеру вершины.
В массиве В (рис. 7.2б) содержатся номера вершин графа G, упорядоченные по не возрастанию степеней.
Вершины массива В, раскрашенные 1-ой краской, отмечены в массиве С на рис. 7.2в.
Вершины массива В, раскрашенные 1-ой и 2-ой красками, находятся в массиве С на рис. 7.2г.
На рис.7.2д. в массиве С показана полная раскраска графа G.
-
степени вершин
4
4
3
8
3
3
3
4
4
номера вершин
графа
G
А
1 2 3 4 5 6 7 8 9
а) массив степеней графа G
В
-
номера вершин
графа G
4
1
2
8
9
3
5
6
7
1 2 3 4 5 6 7 8 9
б) упорядочение вершин графа G по
не возрастанию степеней
-
1
0
0
0
0
0
0
0
0
С 1 2 3 4 5 6 7 8 9
в) раскраска вершин графа G
1-ой краской
-
1
2
0
0
2
0
2
2
0
С 1 2 3 4 5 6 7 8 9
г) раскраска вершин графа G
1-ой и 2-ой красками
-
1
2
3
3
2
3
2
2
3
С 1 2 3 4 5 6 7 8 9
д) полная раскраска вершин
графа G в три цвета
Рис. 7.2. Раскраска графа G последовательным алгоритмом
Легко видеть, что в данном алгоритме выполняются все вышеперечисленные правила. Основное из них заключается в том, что если вершина окрашена, то она уже не перекрашивается в другой цвет.