4.5. Раскраска

Граф G называется  k - раскрашиваемым, если каждой его вершине можно приписать один из k цветов таким образом, чтобы никакие две смежные вершины не оказались одного цвета.

Если граф G является k - раскрашиваемым, но не является (k - 1) - раскрашиваемым, то он называется  k - хроматическим, а число k называется хроматическим числом  графа и обозначается  ^(G).

На рис.4.22 граф G является и 4 - раскрашиваемым и 5 - раскрашиваемым, но 4 - хроматическим.

G ^(G) = 4

Рис.4.22. Хроматическое число графа

Таким образом, хроматическое число графа - это минимальное число красок, в которые может быть раскрашен граф.

Для некоторых графов хроматические числа очевидны. Так для любого полного графа из n вершин хроматическое число равно n, ^(K_n) = n.

Любой двудольный граф является бихроматическим. Для графа G(X,U),

X = X1 U X2, ^(G) = 2.

Действительно, раскрасив вершины из множества X1 в один цвет, а вершины из множества X2 - в другой цвет, получим 2 - раскрашиваемый граф.

5. Элементы теории алгоритмов

5.1. Интуитивное понятие алгоритма

Обычно под алгоритмом понимают совокупность правил, предписывающих последовательность действий для достижения некоторого результата, то есть алгоритм – это последовательность некоторых элементарных действий.

Изображают алгоритмы, как правило, в виде словесного описания, блок-схем и структурных диаграмм.

Понятие алгоритма одновременно и очень простое, и очень сложное. Интуитивно понятно, что если имеется описание способа решения некоторой задачи, то он и является алгоритмом. Поэтому такого определения алгоритма вполне достаточно при решении реальных практических задач.

В то же время, приведенное понятие алгоритма не является формализованным. И если неясно, как решить задачу, то без формального определения алгоритма невозможно установить:

то ли не существует алгоритма решения задачи,

то ли алгоритм существует, но мы его не знаем.

Например, существует или нет алгоритм решения шутливой задачи:

определить алгоритм, решающий все задачи.

Начиная с 30-х годов нашего века было предложено несколько уточнений понятия алгоритма. Все они имеют чисто теоретическое значение. А для повседневной практики достаточно интуитивного понятия, что доказал предыдущий человеческий опыт.

5.2. Свойства алгоритмов

Все алгоритмы имеют одну особенность, – как правило, дискретный характер процесса, определяемый самим алгоритмом. Каждый алгоритм должен быть разбит на отдельные шаги. Итак, первое свойство алгоритма – это дискретность.

Очевидно, что для каждого алгоритма существует свое допустимое множество исходных данных.

Например, для вычисления величины y₁ в выражении y₁=x² значениями аргумента х является множество вещественных чисел,

Для вычисления же арифметического корня из величины у₁= значениями аргумента х является множество неотрицательных чисел, х  0.

Массовость алгоритма заключается в том, что он решает не одну индивидуальную задачу для конкретного значения аргумента, а ряд однотипных задач, в которых аргумент может принимать любое значение из допустимого множества исходных данных.

Если применять алгоритм лишь к определенному набору исходных данных, то всякий раз мы будем получать один и тот же результат. Такое свойство алгоритма называется детерминированностью. Вероятностные процессы отличаются от детерминированных тем, что для заданного набора исходных данных один и тот же результат получается с некоторой вероятностью.

Очевидно, что алгоритм решения любой практической задачи должен иметь конечное число шагов. Свойство алгоритма, обеспечивающее получение результата за конечное число шагов, называется результативностью.