4.3. Матрицы графа

Пусть дан граф G(X,U), X = {x_i}, i = 1, n;

U = {u_j}, j = 1, m.

Матрицей смежностей  графа G называется матрица A размерностью n  n, в которой

  1, если вершины x_i и x_j смежны

a_ij =

0, в противном случае

x₂

G u₁ u₂

x₁ u₃ x₃

u₄ u₅ u₆

x₅ u₇ x₄

Рис.4.17. Неориентированный граф

Для графа G, изображенного на рис.4.17, матрица A имеет следующий вид.

x₁ x₂  x₃  x₄  x₅

x₁ 0 1 1 0 1

x₂ 1 0 1 0 0

A = x₃  1 1 0 1 1

x₄  0 0 1 0 1

x₅  1 0 1 1 0

Поскольку граф G не ориентирован, то элементы матрицы смежностей симметричны относительно главной диагонали.

Матрицей инциденций  графа G называется матрица B размерностью n  m, в которой

1 , если вершина x_i и ребро u_j  инцидентны

b_ij =

 0, в противном случае

Для графа G, изображенного на рис.4.17, матрица B имеет следующий вид.

u₁ u₂  u₃  u₄  u₅  u₆  u₇

x₁  1 0 1 1 0 0 0 

x₂  1 1 0 0 0 0 0 

x₃  0 1 1 0 1 1 0 

x₄  0 0 0 0 0 1 1 

x₅  0 0 0 1 1 0 1 

4.4. Деревья

Граф называется  связным, если любая пара его вершин соединена простой цепью.

На рис.4.18 граф G₁ является связным, а G₂ - несвязным.

G₁ G₂

Рис.4.18. Связность графов

Граф называется ациклическим, если в нем нет циклов.

Дерево - это связный ациклический граф.

На рис.4.19 граф G является деревом.

G

Рис.4.19. Дерево

Для любого графа G(X,U),  X =n, U= m, являющегося деревом, справедливо равенство



n = m + 1

Остовным деревом называется подграф-дерево графа G, содержащий все его вершины.

Один и тот же граф может иметь несколько остовов. На рис.4.20 изображены два остова графа G₁ (рис.4.18).

Рис.4.20. Остовы графа

Пусть граф G является взвешенным. Минимальным остовным деревом  называется остовное дерево с минимальным суммарным весом ребер.

На рис.4.21 приведены взвешенный граф и его минимальное остовное дерево, суммарный вес которого равен 14.

7

3 4 8 1 3 4 1

5 6 6

Рис.4.21. Минимальное остовное дерево