3.11. Контрольные задания

Задание. Дана равносильность f=g.

1.Проверить справедливость равносильности с помощью таблиц истинности.

2.Доказать равносильность с помощью эквивалентных преобразований.

3.Реализовать функцию f в классическом базисе { } и базисе шефферов-

ского типа { }.

4. Для функции f выписать по таблице истинности СДНФ.

5.С помощью эквивалентных преобразований доказать равносильность СДНФ функции f и функции g.

Варианты заданий.

1. f=

2. f=

3. f=

4. f=

5. f=

6. f=

7. f=

8. f=

9. f=

10. f=

11. f=

12. f=

13. f=

14. f=

15. f=

16. f=

17. f=

18. f=

19. f=

20. f=

21. f=

22. f=

23. f=

24. f=

25. f=

26. f=

27. f=

28. f=

29. f=

30. f=

4. Элементы теории графов

4.1. История возникновения

Основоположником теории графов считают Леонарда Эйлера (1707 - 1783 гг.), решившего задачу о кенигсбергских мостах. В 18 - м веке г. Кенигсберг был расположен на обоих берегах и двух островах реки Преголя. Острова между собой и с берегами были связаны семью мостами (рис.4.1). Жители города любили размышлять над проблемой: можно ли, выйдя из дома, вернуться обратно, пройдя по каждому мосту только один раз?

Для решения задачи Л.Эйлер обозначил каждый остров, и оба берега реки маленькими кружками (вершинами) - x₁,  x₂, x₃, x₄, а каждый мост - линией (ребром). Получился "граф" (рис.4.2).

Л.Эйлер обобщил задачу, которая на языке теории графов формулируется следующим образом: существует ли в графе цикл, содержащий все ребра (эйлеров цикл)?

Критерий, позволяющий решать задачи подобного класса, доказанный Эйлером, имеет следующий вид.

Эйлеров цикл в графе существует тогда и только тогда, когда степени всех его вершин четны.

То есть для существования эйлерова цикла в каждую вершину должно "заходить" четное число ребер. Как видно из рис.4.2 не все вершины графа удовлетворяют этому условию, поэтому данная задача не имеет решения.

Считается, что с задачи о кенигсбергских мостах началась теория графов.

Следует отметить, что всегда следует стараться обобщить задачу и искать решение не для частного случая, а для всего класса подобных задач. Нередко это бывает гораздо легче сделать.

4.2. Основные понятия

 Граф  состоит из множества вершин X и множества ребер U. Вершины обычно обозначают кружками, ребра - прямыми линиями, а сам граф - буквой G.

Если у графа n вершин и m ребер, то он обозначается

G(X,U), X = {x₁, x₂, ... , x_n } = {x_i }, i = 1, n;

U = {u₁, u₂, ... , u_m } = {u_j }, j = 1,m.

Рис. 4.1. Парк в городе

Кенигсберге, 1736 г.

x₁

x₂ x₃

x₄

Рис. 4.2. Граф к задаче

о кенигсбергских мостах

x₁ u₁ x₂

G

u₅ u₄ u₂

x₄ u₃ x₃

Рис.4.3. Определение графа

Для графа, изображенного на рис.4.3:

X = {x₁, x₂, x₃, x_4} = {x_i}, i = 1,4;

U = {u₁, u₂, u₃, u₄, u₅} = {u_j}, j = 1,5 = {(x₁, x₂), (x₂, x₃), (x₃, x₄), (x₄, x₂), (x₁, x₄)}.

Следует отметить, что в определении графа не указывается, как он изображен на плоскости, а дается лишь совокупность связей между вершинами. Поэтому изображенные на рис.4.4 графы G₁,G₂ и G₃ представляют один и тот же граф.

x₁

x₁ x₂ G₂ x₁ x₂

G₁ G₃

x₂

Рис.4.4. Изображение графа на плоскости

Ребро графа соединяет всегда две вершины, которые называются смежными. Так для ребра u₃ (рис.4.3) смежными являются вершины x₃ и x₄. Ребро же u₃ является  инцидентным  как вершине x₃, так и вершине x₄.

 Степенью  вершины x_i  (deg x_i) графа G называется число ребер, инцидентных x_i, i = 1, n.

Для графа на рис.4.3 deg x₁ = 2, deg x₂ = 3.

Теорема Эйлера. Сумма степеней вершин графа G равна удвоенному числу его ребер.

  deg x_i = 2 m

Доказательство теоремы основано на инцидентности каждого ребра двум вершинам графа.

Два графа называются  изоморфными, если они равны с точностью до переобозначения вершин и ребер.

y₁ y₂

H

y₄ y₃

Рис.4.5. Изоморфизм графов

Граф G из примера 4.3 и граф H (рис.4.5) изоморфны, что следует из переобозначения вершин:

y₁ x₂, y₂ x₃, y₃ x₄, y₄ x₁.

Граф с кратными ребрами называется мультиграфом  (рис.4.6). Если же допускаются петли, то получаем  псевдограф  (рис.4.7).

Рис.4.6. Мультиграф Рис.4.7. Псевдограф

Граф H называется  подграфом  графа G, если все его вершины и ребра принадлежат G, H  G (рис.4.8).

x₂

H

x₄ x₃

Рис.4.8. Подграф

Граф H является подграфом графа G, изображенного на рис.4.3.

Граф G называется полным, если каждая пара его вершин смежная. Полный граф из n вершин обозначается K_n . На рис.4.9 изображены полные графы для

n = 1, 2, 3, 4, 5.

K₃ K₄ K₅

K₁ K₂

Рис.4.9. Полные графы

Граф G называется двудольным, если множество его вершин X можно разбить на два подмножества X1 и X2, X = X1  X2, X1  X2 =  таким образом, что каждое ребро графа G соединяет вершины из разных множеств (рис.4.10). Один из изображенных на этом рисунке графов – K_3,3 называется полным трех вершинным двудольным графом.

G G = K_{3, 3}

Рис.4.10. Двудольные графы

Граф G называется  планарным, если его можно изобразить на плоскости без пересечений ребер.

Граф K₄ (рис.4.9) является планарным. Одна из его плоских укладок изображена на рис.4.11.

K₄

Рис.4.11. Плоская укладка графа K₄

Графы K₅ и K_{3, 3} являются не планарными, то есть их нельзя уложить на плоскости без пересечений ребер. Не планарность графа K_{3, 3} лежит в основе известной задачи М.Гарднера.

Даны три дома и три колодца. Спрашивается, можно ли от каждого дома к каждому колодцу протоптать тропинки, чтобы они не пересекались?

Оказывается, что это невозможно. На рис.4.12 показана одна из таких попыток.

Рис.4.12. Укладка на плоскости графа K_{3, 3}

Удивительные свойства плоских графов видны на примере следующей задачи.

Пусть на плоскости дано изображение плоского графа G. Перенумеруем его вершины и снова изобразим их на плоскости произвольным образом. Спрашивается, можно ли соединить новое расположение вершин ребрами таким образом, чтобы граф G оставался плоским?

Оказывается это возможно. Плоский граф инвариантен относительно размещения на плоскости его вершин (рис.4.13).

2

y y

1 3 5

3 2

6 1 4

6 5 4

0 x 0 x

Рис. 4.13. Инвариантность плоского графа относительно

расположения на плоскости его вершин

 Маршрутом  в графе G называется чередующаяся последовательность смежных вершин и ребер.

Маршрут называется цепью, если все его ребра различны.

Маршрут называется простой цепью, если все его вершины (а, следовательно, и ребра) различны.

Если в цепи начальная вершина совпадает с конечной, то она называется  циклом.

Если в простой цепи начальная вершина совпадает с конечной, то она называется простым циклом.

x₁ x₂ x₃

G

x₅ x₄

Рис.4.14. Граф G

Для графа G на рис. 4.14:

x₁ x₂ x₃ x₂ x₅ - маршрут

x₂ x₅ x₃ x₂ x₁ - цепь

x₂ x₅ x₃ x₄ - простая цепь

x₂ x₅ x₃ x₄ x₅ x₁ x₂ - цикл

x₂ x₅ x₄ x₃ x₂ - простой цикл

Граф называется ориентированным (орграфом), если каждому его ребру приписано направление (рис.4.15).

Любая пара смежных вершин называется дугой. Пусть дуга связывает x с y (рис.4.15).

 Полу степенью исхода  od(x) называется число вершин, смежных из x.

 Полу степенью захода  id(y) называется число вершин, смежных к y.

На рис.4.15 od(x₅) = 1, id(x₂) = 2.

x₅ x₁ x₂

G x y

x₄ x₃

Рис.4.15. Ориентированный граф

 Ориентированным маршрутом  в орграфе G называется чередующаяся последовательность смежных вершин и дуг, которая начинается и оканчивается вершиной.

Маршрут, в котором все вершины различны, называется путем.

Если путь имеет начальную вершину, совпадающую с конечной, то он называется  контуром.

Для графа G на рис.4.15:

x₁ x₂ x₃ x₄ x₂ x₃ x₄ x₅ - ориентированный маршрут

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ - путь

x₄ x₂ x₃ x₄ - контур

Длина маршрута (цепи, простой цепи, цикла, простого цикла, ориентированного маршрута, пути, контура) d равна числу входящих в него ребер (дуг).

Для графа G на рис.4.14:

d(x₁ x₂ x₃ x₄ x₅) = 4

Для графа G на рис.4.15:

d(x₄ x₂ x₃ x₄) = 3

Расширим понятие графа. Поставим в соответствие каждому ребру графа G неотрицательное число w_j > 0, j = 1, m.

Тогда определение графа будет выглядеть следующим образом:

G(X,U,W), X = {x_i}, i = 1, n;

U = {u_j}, j = 1, m; W = {w_j}, j = 1, m;

X =n,  U=m, W = m.

Граф G(X,U,W) называется  взвешенным.

x₂ 4 x₄

5

G 3 6

2

x₁ 2 x₃

Рис.4.16. Взвешенный граф

Для графа, изображенного на рис.4.16:

X = {x₁, x₂, x₃, x₄};

U={(x₁, x₂), (x₁, x₃), (x₁, x₄), (x₂, x₃), (x₂, x₄), (x₃, x₄)};

W = {3, 2, 2, 5, 4, 6}.