3.9. Совершенная конъюнктивная нормальная форма

Представление функции алгебры логики в виде f(X1, X2, …, Xn)=

называется совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ).

Алгоритм перехода от табличного задания функции к СКНФ

1. Выбрать в таблице задания функции все наборы аргументов, на которых функция обращается в ноль.

2. Выписать дизъюнкции, соответствующие этим наборам аргументов. При этом если аргумент X входит в данный набор как 0, он вписывается без изменения в дизъюнкцию, соответствующую данному набору. Если же Х входит в данный набор как 1, то в соответствующую дизъюнкцию вписывается его отрицание.

3. Все полученные дизъюнкции соединяются между собой знаками конъюнкций.

f(X1, X2, X3)=(X1

3.10. Реализация операции суммирования в компьютере

Как известно, все математические операции в ЭВМ сводятся к сложению двух чисел. Поэтому для их реализации требуется единственное устройство – сумматор. Так как в вычислительной технике используется двоичная система счисления, то будем считать, что числа X и Y содержат n разрядов , , где , i=1,…,n.

Операция сложения X и Y в обычной записи:

x

+

_nx_n-1…x₂x₁

y_ny_n-1…y₂y₁

s _ns_n-1…s₂s₁

Структурная схема сложения чисел X и Y будет иметь следующий вид:

x_n y_n x_i y_i x₂ y₂ x₁ y₁

p

_n p_n-1 … p_i p_i-1 … p₂ p₁ 

s_n s_i s₂ s₁

Обозначения: s_i – сумма значений x_i и y_i;

p_i – перенос из i – го разряда в i + 1й разряд.

Блок, реализующий сложение чисел x₁ и y_1, является логическим (2,2)-полюсником. Он называется полусумматором.

x f₁



y f₂

Сложение в двоичной системе счисления выполняется по правилам:

0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0.

Поэтому функция f₁ реализует операцию сложения по модулю два.

f₁=s₁=x₁ y₁=

Функция f₂ реализует перенос p₁ во второй разряд. Он имеет место только при единичных значениях x₁ и y₁. Поэтому функция f₂ реализует операцию конъюнкции:

f₂=p₂=

Все остальные блоки являются полными сумматорами, представляющими собой логические (3,2)- полюсники:

x f₁

y

p f₂

Функция f₁ реализует сложение по модулю два чисел x, y, p. Функция f₂ реализует перенос в старший разряд.

Составим таблицу истинности для функций f ₁ и f₂.

x	y	p	f1	f2
0	0	0	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	1

Функция f ₁ равна 1, если при сложении по модулю два x, y, p получится 1, то есть при нечетном числе единиц в строке. Выпишем СДНФ функции f ₁ и покажем, что f₁= .

f₁= p)== .

На наборах данных функция f₂ равна 1, когда из трех переменных x, y, p, по крайней мере, две равны 1. Выпишем СДНФ функции f₂ и упростим ее:

f₂= =