2. Основная часть

Постановка задачи

Спроектировать программу, имитирующую серийное бомбометание по железнодорожному мосту. Определить вероятность разрушения моста. Получить зависимость вероятности разрушения от направления захода на мост.

Исходные данные:

Длина моста: l = 110 м.

Ширина моста: d = 10 м.

Количество бомб в серии: m – от 1 до 4.

Интервал между бомбами в серии: l = 10 м.

СКО ошибки прицеливания: _xпр = 25 м., _yпр = 40 м.

Техническое рассеивание: _xт = 10 м., _yт = 5 м.

Угол захода самолета на мост: , от 0 до 90, шаг изменения 10.

Рассеивание бомб происходит согласно так называемой «схеме двух групп ошибок», а именно, рассеивание бомбы определяется общей для всех бомб серии ошибкой прицеливания и техническим рассеиванием каждой бомбы. Считается, что составляющие этих ошибок по осям X и Y независимы и подчинены нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и средним квадратическим отклонением (СКО), равным _xпр _yпр – для ошибок прицеливания и _xт _yт – для технического рассеивания бомб

Закон нормального распределения случайной величины

Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами a и , если её плотность вероятности f(x) имеет вид:

Этот закон имеет место, когда на протекание исследуемого процесса и его результат влияет сравнительно большое число независимых (или слабозависимых) элементарных факторов (слагаемых), каждое из которых в отдельности оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным влиянием всех остальных. Например, наработка до проведения технического обслуживания складывается из нескольких (десяти и более) сменных пробегов, отличающихся один от другого. Однако они сопоставимы, то есть влияние одного сменного пробега на суммарную наработку незначительно.

Кривая нормального распределения f(x) (нормальная кривая или кривая Гаусса) приведена на рисунке.

Математическое ожидание случайной величины X, распределённой по нормальному закону, равно параметру a этого закона, а её дисперсия –квадрату параметра : M(X) = a, D(X) = ²

Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами а=0 и =1 называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной.

Функция распределения F(x) случайной величины X, распределённой по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа по формуле:

Вероятность попадания случайной величины в интервал (x₁,x₂), равна:

Вероятность того, что отклонение случайной величины X, распределённой по нормальному закону, от математического ожидания a не превысит по абсолютной величине величину >0, равна

Если случайная величина X распределена нормально (с параметрами а и ), то практически достоверно, что абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, то есть

Другими словами, если случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и , то практически достоверно, что её значения заключены в интервале

В курсовой работе данный закон используется для генерации ошибок прицеливания и технического рассеивание бомб при бомбардировке моста. Блок-схема алгоритма генерации случайных чисел, распределенных по этому закону, приведена в приложении 2.

Закон больших чисел

Закон больших чисел – общий принцип, в силу которого совокупное действие большого числа случайных факторов приводит, при некоторых общих условиях, к результату, почти не зависящему от случая. Закон больших чисел является одним из выражений диалектической связи между случайностью и необходимостью. Первая точно доказанная теорема принадлежит Я. Бернулли, которая была опубликована после его смерти, в 1713. Теорема Бернулли была обобщена С. Пуассоном, в сочинении которого "Исследование о вероятности суждения" от 1837 года впервые появился термин «закон больших чисел». Значительно более общее понимание этого термина основано на работе П. Л. Чебышева «О средних величинах» от 1867 года. В этом современном понимании закон больших чисел утверждает, что при некоторых подлежащих точному указанию условиях среднее арифметическое

достаточно большого числа n случайных величин X_k с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от своего математического ожидания

Новым и весьма плодотворным оказался предложенный Чебышевым метод доказательства закона, основанный на применении так называемого неравенства Чебышева.

Для независимых случайных величин, имеющих одинаковые распределения вероятностей и конечное математическое ожидание а, закон утверждает, что при любом e > 0 вероятность неравенства |х - а| < e стремится к единице при n. Порядок отклонений от а указывается предельными теоремами теории вероятностей. В типичных случаях отклонения имеют порядок Соответственно, случайные отклонения суммы от её математического ожидания na растут как .

Этот факт (называемый в упрощённых популярных изложениях «законом корня квадратного из n») даёт некоторое, хотя и грубое, представление о характере действия закона больших чисел.

Наглядное объяснение смысла и значения закона больших чисел даёт следующий пример. Пусть в замкнутом сосуде заключено N молекул газа. В соответствии с кинетической теорией каждая молекула беспорядочно движется внутри сосуда, испытывая множество столкновений с другими молекулами и стенками сосуда. Ударяясь о какую-либо площадку s стенки в течение выбранного промежутка времени в t секунд, отдельная молекула сообщает этой площадке импульс f_k. Импульс f_k является типичной случайной величиной, так как состояние рассматриваемого газа определяет лишь математическое ожидание а = E (f_k) этого импульса, фактическое же значение импульса данной молекулы за данный промежуток времени может быть самым различным (начиная от нуля, в случае, если за данный промежуток времени данная молекула не ударялась о площадку s). Сумма

импульсов всех молекул, сообщаемых площадке s за данный промежуток времени, является также случайной величиной с математическим ожиданием, равным А = Na. Однако, в силу закона больших чисел (который проявляется здесь с исключительной точностью благодаря тому, что число N очень велико) F в действительности оказывается почти независимым от случайных обстоятельств движения отдельных молекул, а именно – почти точно равным своему математическому ожиданию А. Этим, с точки зрения кинетической теории, и объясняется тот факт, что давление газа на площадку s является практически строго постоянным, а не колеблется беспорядочно.

Часто приходится применять закон больших чисел и в такой обстановке, когда количество случайных слагаемых не столь велико, как в примере с газовыми молекулами; тогда отклонения суммы случайных величин от её математического ожидания могут быть значительными. В этом случае крайне важно уметь оценивать размеры этих отклонений. Пусть, например, из 1000 партий каких-либо изделий, по 100 шт. в каждой, взято для испытания наудачу по 10 шт. из каждой партии и среди испытанных 10000 шт. обнаружено 125 дефектных. Если обозначить n_к число дефектных изделий в k-й партии, то общее число дефектных изделий равно

математическое ожидание числа дефектных изделий среди тех десяти, которые взяты для испытаний из k-й партии, равно S_k = (¹⁰/₁₀₀) n_k, а математическое ожидание общего числа дефектных изделий в 1000 пробах по 10 штук равно

В силу закона больших чисел естественно считать, что ⁿ/₁₀ ~ 125, то есть среди 100000 изделий во всех партиях имеется приблизительно 1250 дефектных. Более точное исследование с помощью теории вероятностей приводит к такому результату: если выборка изделий из каждой партии была действительно случайной, то можно с достаточной уверенностью утверждать, что фактически 1000 < n < 1500, но уже оценка 1100 < n < 1400 не была бы достаточно надёжной, а для оценки 1200 < n < 1300 совсем не имеется серьёзных оснований. Получить более точную оценку для n можно, лишь испытав большее число изделий.

Условие независимости слагаемых в большинстве применений закона больших чисел если и выполняется, то лишь с тем или иным приближением. Так, уже в первом примере движения отдельных молекул газа нельзя, строго говоря, считать независимыми. Поэтому важно исследование условий применимости закона к случаю зависимых слагаемых. Основные математические работы в этом направлении принадлежат А. А. Маркову, С. Н. Бернштейну и А. Я. Хинчину. Качественно результаты их исследований сводятся к тому, что закон больших чисел применим, если между слагаемыми с далёкими номерами зависимость достаточно слаба. Таково, например, положение в рядах метеорологических наблюдений над температурой или давлением воздуха.

В применениях закона больших чисел необходимо тщательно проверять соответствие условий его применимости реальной обстановке.

Метод статистический испытаний (метод Монте-Карло)

Метод Монте-Карло можно определить как метод моделирования случайных величин с целью вычисления характеристик их распределений.

Возникновение идеи использования случайных явлений в области приближённых вычислений принято относить к 1878 году, когда появилась работа Холла об определении числа p с помощью случайных бросаний иглы на разграфлённую параллельными линиями бумагу. Существо дела заключается в том, чтобы экспериментально воспроизвести событие, вероятность которого выражается через число p, и приближённо оценить эту вероятность. Отечественные работы по методу Монте-Карло появились в 1955-1956 годах. С того времени накопилась обширная библиография по методу Монте-Карло. Даже беглый просмотр названий работ позволяет сделать вывод о применимости метода Монте-Карло для решения прикладных задач из большого числа областей науки и техники.

Метод Монте-Карло оказал и продолжает оказывать существенное влияние на развитие методов вычислительной математики (например, развитие методов численного интегрирования) и при решении многих задач успешно сочетается с другими вычислительными методами и дополняет их. Его применение оправдано в первую очередь в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание. Это объясняется как естественностью получения ответа с некоторой заданной вероятностью в задачах с вероятностным содержанием, так и существенным упрощением процедуры решения.

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение a некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину X, математическое ожидание которой равно a:

М(Х) = а

Практически же поступают так: производят n испытаний, в результате которых получают n возможных значений X; вычисляют их среднее арифметическое

и принимают x в качестве оценки (приближённого значения) a* искомого числа a:

.

Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину X, как найти её возможные значения. В частности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания a его оценкой a*.

Пусть для получения оценки a* математического ожидания a случайной величины X было произведено n независимых испытаний (разыграно n возможных значений X) и по ним была найдена выборочная средняя , которая принята в качестве искомой оценки: . Ясно, что если повторить опыт, то будут получены другие возможные значения X, следовательно, другая средняя, а значит, и другая оценка a*. Отсюда следует, что получить точную оценку математического ожидания невозможно. Возникает вопрос о величине допускаемой ошибки. Верхняя граница d допускаемой ошибки с заданной вероятностью (надёжностью) g выглядит следующим образом:

Верхняя грань ошибки d есть «точность оценки» математического ожидания по выборочной средней при помощи доверительных интервалов. Существуют три случая:

Первый случай. Случайная величина X распределена нормально и её среднее квадратичное отклонение s известно. В этом случае с надёжностью g верхняя граница ошибки

(1)

где n число испытаний (разыгранных значений X); t – значение аргумента функции Лапласа, при котором

,

S – известное среднее квадратичное отклонение X.

Второй случай. Случайная величина X распределена нормально, причём её среднее квадратическое отклонение s неизвестно. В этом случае с надёжностью g верхняя граница ошибки

(2)

где n – число испытаний; s – «исправленное» среднее квадратическое отклонение, t_y находят по таблице.

Третий случай. Случайная величина X распределена по закону, отличному от нормального.

В этом случае, при достаточно большом числе испытаний (n>30) с надёжностью, приближённо равной g, верхняя граница ошибки может быть вычислена по формуле (1), если среднее квадратическое отклонение s случайной величины X известно. Если же s неизвестно, то можно подставить в формулу (1) его оценку s – «исправленное» среднее квадратическое отклонение либо воспользоваться формулой (2). Чем больше n, тем меньше различие между результатами, которые дают обе формулы. Это объясняется тем, что при n распределение Стьюдента стремится к нормальному.

Из изложенного следует, что метод Монте-Карло тесно связан с задачами теории вероятностей, математической статистики и вычислительной математики. В связи с задачей моделирования случайных величин (в особенности равномерно распределённых) существенную роль играют также методы теории чисел.

Среди других вычислительных методов, метод Монте-Карло выделяется своей простотой и общностью. Медленная сходимость является существенным недостатком метода, могут быть указаны его модификации, которые обеспечивают высокий порядок сходимости при определённых предположениях. Однако вычислительная процедура при этом усложняется и приближается по своей сложности к другим процедурам вычислительной математики. Сходимость метода Монте-Карло является сходимостью по вероятности. Это обстоятельство вряд ли следует относить к числу его недостатков, ибо вероятностные методы в достаточной мере оправдывают себя в практических приложениях. Что же касается задач, имеющих вероятностное описание, то сходимостью по вероятности является даже в какой-то мере естественной при их исследовании.

В курсовой работе данный метод используется для определения вероятности попадания бомбы в мост. Для этого производится серия из n испытаний, в которых определяются координаты падения бомб для каждого угла захода самолета на мост (от 0 до 90 градусов). В каждом испытании определяется, попала ли хотя бы одна бомба в мост, и в случае попадания, счетчик успешного наступления данного события m увеличивается на единицу.

После проведения серии испытаний вычисляется вероятность попадания для каждого угла захода по формуле p = (m/n). Затем значение вероятности попадания выводится на экран во время показа имитационного ролика.

Этапы разработки имитационной модели

Для имитационного моделирования сложных объектов должна быть образована бригада не менее чем из 2 – 7 человек, включающая 1 – 3 специалистов по математике, статистике, программированию (это может быть и один человек), 1 – 3 специалиста по моделируемому объекту и одного старшего, которым должен быть специалист по этому объекту.

Выполнение курсовой работы состояло из следующих этапов:

1. На этом этапе было получено задание на выполнение курсовой работы.

2. Определена задача моделирования – бомбометание по железнодорожному мосту. Определены характеристики рассеивания бомб при падении и метод расчета вероятности разрушения моста.

3. Реализована математическая модель задачи, разработан черновой вариант алгоритма реализации модели на ЭВМ, составлена его блок-схема, создана программа, реализующая полученный алгоритм без визуальной имитации.

4. Корректировка работы имитационного алгоритма и его отладка, исправлялись недочеты. После исправления всех ошибок в программу были добавлены средства визуализации имитации бомбометания. Затем была произведена окончательная отладка полученной программы.

5. Испытание созданной модели, сбор и обработка выдаваемых ею результатов.

6. После обработки результатов моделирования данные были занесены в таблицу, был построен график зависимости вероятность разрушения моста от количества сбрасываемых бомб и угла захода самолет.

В общем же случае, работа по созданию имитационной модели может быть разделена на следующие основные этапы:

1. Формулирование исследуемой проблемы и постановка задачи на моделирование.

2. Сбор и анализ данных о моделируемом объекте, содержательное словесное описание объекта и его функционирования.

3. Разработка модели, включающая выбор моделируемых вариантов работы объекта, составление алгоритма и блок-схемы алгоритма, программирование, а также подготовка реальной аппаратуры и людей, если они включаются в контур моделирования.

4. Реализации модели на ЭВМ, отладка программы и проверка адекватности модели исследуемому объекту.

5. Проведение собственно моделирования, то есть серии испытаний для каждого варианта, и статистическая обработка результатов испытаний.

6. Анализ полученных результатов и выработка рекомендаций.

Время, затрачиваемое на всю работу, зависит от сложности моделируемого объекта и степени детализации модели. Для моделирования сложных объектов, например предприятия, требуется минимум несколько месяцев, а чаще всего год и более. Больше всего времени уходит на сбор данных об объекте и на разработку модели. Разработке модели предшествует содержательное описание объекта и происходящих процессов, конкретизирует цель моделирования и определяет набор выходных характеристик, которые должны быть получены в результате моделирования.

Модель сложного объекта имеет, как правило, блочный вид. Например, модель согласования производства и потребления состоит из блоков производства, потребления и согласования планов производителей.

При разработке модели, прежде всего, отбираются те компоненты моделируемого объекта и процессы, которые целесообразно отобразить в его модели. Эта важнейшая задача, определяющая успех всего моделирования, требует глубокого знания объекта, условий его функционирования и возможностей имитации каждого из компонентов, а поэтому должна проводиться всем коллективом группы моделирования под руководством специалистов по объекту. Отбор воспроизводимых компонентов, степень детализации модели зависят от цели моделирования и от полноты информации о характеристиках компонентов.

Должны отбираться только компоненты и процессы, которые оказывают существенное влияние на функционирование объекта, причем их характеристики должны быть известны с достаточной полнотой и точностью. Распространенной ошибкой является излишняя детализация модели, включение в модель компонентов и процессов, характеристики которых известны плохо. Часто цель моделирования – определение рациональных характеристик какого-либо компонентов объекта или объекта в целом. В этом случае задают несколько вариантов этих характеристик, для каждого из которых проводят моделирование.

Излишняя детализация модели, включение несущественных для целей моделирования компонентов и процессов, не только неоправданно усложняет модель, но и может привести к преувеличению роли второстепенных факторов, к искажению реальной картины.

Для отобранных компонентов должны быть определены входные и выходные величины, связи между компонентами, характеризующие их постоянные параметры и переменные величины, а также описано функционирование компонентов. Оно проводится посредством задания соотношений – операторов, связывающих входные и выходные сигналы компонентов. Эти операторы задаются в виде формул, уравнений различного вида, логических соотношений типа «если…, то…», табличных зависимостей.

Задаются вероятности событий, происходящих на входах в компонент и внутри него (например, вероятности поступления заявки, материалов, вероятности отказов оборудования), и законы распределения случайных величин, например, времени протекания какого-либо процесса, выполнения этапа работы. Из входных сигналов, поступающих в объект, должны быть выделены полезные соответствующие, шумы, и заданы их статистические характеристики.

Затем задаются ограничения, как искусственные (например, экономические), так и естественные (физические, химические и прочие), накладываемые на функционирование компонентов, исходя из целесообразности или самой природы компонентов и процессов. Задаются целевые функции и критерии, характеризующие качество работы компонентов и объекта в целом, и, наконец, выбираются моделируемые варианты работы объекта, строится блок-схема алгоритма моделирования и производится программирование задачи.

Число возможных вариантов моделирования сложных объектов обычно очень велико, так как изменение любого из постоянных параметров модели приводит к появлению нового варианта, а таких варьируемых параметров, как правило, много. Для каждого варианта должно быть проведено, по меньшей мере, несколько десятков испытаний, на каждый из которых при сложной модели может уходить значительное машинное время. Поэтому даже при огромном быстродействии современных ЭВМ моделирование очень большого числа вариантов может оказаться нереальным и моделироваться должны только наиболее важные, типичные варианты.

При включении в контур моделирования реальной аппаратуры, определяются ее связи с ЭВМ – сигналы, которыми она должна обмениваться с последней, и проводится подключение аппаратуры к входному устройству ЭВМ через соответствующие преобразователи сигналов. Для использования в процессе моделирования людей, необходимы устройства выдачи информации человеку и органы управления, с помощью которых человек задает команды, управляющие в ходе испытания процессами в моделируемом объекте.

Очевидно, что разработка модели невозможна без глубокого знания моделируемого объекта и его функционирования, причем в процессе разработки происходят углубление и уточнение понимания объекта. Поэтому процесс разработки модели имеет и самостоятельное значение, так как позволяется обнаружить недостатки, вскрыть резервы, открыть новые возможности объекта еще до моделирования и дать важные практические рекомендации по совершенствованию объекта и повышению эффективности его функционирования.

Отлаженная программы для ЭВМ имеет высокую ценность и должна сохраняться, чтобы можно было использовать ее после внесения соответствующих изменений для проверки моделированием результатов предлагаемого совершенствования объекта и любых возможных изменений объекта или условий его работы. Так, программа моделирования производства некоторой продукции может быть использована для проверки влияния изменений технологических маршрутов, производственной структуры, системы снабжения и вообще любых изменений, затрагивающих компоненты, отображенные в модели. Такое периодическое моделирование проводится в процессе создания, совершенствования и использования некоторых сложных систем, в частности космических комплексов.

Анализ выходных характеристик

Для вычисления вероятности попадания бомбы в мост методом Монте-Карло в курсовом проекте используется серия из 1000 испытаний. Практически было установлено, что дальнейшее увеличение количества испытаний практически не изменяет значения вероятности. Так, при 10000 испытаний разница составляет всего лишь 1,5 – 2%, однако становится более заметным продолжительность вычисления вероятности на ЭВМ.

Таблица и график зависимости вероятности разрушения моста от угла захода самолета на мост и количества сбрасываемых бомб выглядят следующим образом

Угол захода самолета, град.	Количество сбрасываемых бомб
	1	2	3	4
0	0,6250	0,7040	0,7749	0,7170
10	0,6100	0,7350	0,7590	0,7429
20	0,6100	0,7229	0,7540	0,719
30	0,5500	0,6930	0,7549	0,7850
40	0,5139	0,7009	0,7779	0,8230

50	0,5040	0,6930	0,8009	0,8379
60	0,4709	0,7329	0,8190	0,8479
70	0,4580	0,7070	0,8149	0,8999
80	0,4659	0,6830	0,8429	0,8989
90	0,4530	0,6719	0,8330	0,9150

Видно, что вероятность попадания в мост возрастает при увеличении угла захода самолета и одновременно увеличения числа сбрасываемых бомб. В то же время, вероятность попадания снижается, если сбрасывать одну или две бомбы, даже при увеличении угла захода самолета.

Таким образом, имитационным путем было установлено, что вероятность разрушения моста выше тогда, когда на мост сбрасывается не менее трех бомб за каждый заход самолета, и при этом угол захода моста максимальный, то есть самолет летит точно над мостом.

Последовательность разработки ППП

Процесс создания программы имитации состоял из трех этапов: этапа создания сцены ролика, этапа реализации алгоритма бомбометания и этапа отладки.

На первом этапе была создана сцена ролика, то есть все трехмерное окружение, показанное в ролике (мост, река, взрывы). Были созданы трехмерные модели секций моста, его опоры и модель самолета. Для создания моделей использовался редактор трехмерной графики 3DSmax. Остальные элементы сцены прорисовывались программно с помощью библиотеки OpenGL.

На втором этапе к существующим объектам сцены была добавлена математическая основа. Рассеивание бомб при падении происходило по нормальному закону распределения, полет самолета – простым приращением координат. Для приведения координат падения бомб к мировым координатам (координатам сцены) применялись тригонометрические преобразования.

На последнем этапе происходило отладка алгоритма и его визуализации. Также была произведена оптимизация вывода графики для устаревших видеокарт.

Среда Delphi 7, хотя и имеет в своей стандартной поставке устаревшую и «урезанную» версию библиотеки OpenGL, все же была выбрана в качестве инструмента реализации, так как присутствует в компьютерных кабинетах колледжа. Для программирования трехмерной графики больше подходит среда Visual Studio, которая располагает более новой и полной версией библиотеки, но она отсутствует на машинах.

Программа имеет модульную архитектуру. Модули практически не зависят друг от друга, но каждый из них зависит от главного модуля программы. Это позволяет программе быть легко изменяемой и дополняемой, облегчает поиск ошибок и отладку. Назначение основных модулей представлено ниже:

Модуль bm_core.pas является главным в программе. В него передается управление сразу после запуска программы. Он осуществляет инициализацию остальных модулей при загрузке и их освобождение при завершении работы.

Модули bm_wind.pas, bm_graph.pas, bm_rend.pas осуществляют подключение и инициализацию библиотеки OpenGL.

Вспомогательные модули bm_file.pas, bm_mem.pas, bm_model.pas, bm_tga.pas, bm_timer.pas осуществляют работу с памятью, файлами моделей и текстур, осуществления максимально возможной для видеокарты плавной анимации с одинаковой скоростью вывода на всех машинах.

Модули bm_brid.pas, bm_river.pas, bm_scene.pas осуществляют построение сцены ролика.

Модуль bm_plane.pas осуществляет полет самолета и «сброс» бомб в соответствии с заранее просчитанным законом рассеивания.

Модуль bm_math.pas вычисляет координаты падения каждой бомбы по нормальному закону распределения и в зависимости от угла захода самолета на мост.

Заключение

В результате выполнения этой курсовой работы была разработана имитационная модель бомбометания железнодорожного моста с рассеиванием бомб, происходящему по нормальному закону распределения.

Знания, полученные на лекциях в процессе обучения, были дополнены самостоятельным изучением применяемых в программе математических методов, и в последствии реализованы в виде имитационной модели. В частности, были освоены два алгоритма генерации случайных чисел с нормальным распределением, и один из них, имеющий лучшую статистическую устойчивость, впоследствии был реализован в курсовой работе. Блок-схема этого алгоритма приведена приложении 2.

Во время выполнения моделирования практически было установлено, что для вычисления вероятности наступления события при использовании метода Монте-Карло, достаточно 1000 – 2000 серий испытаний. Дальнейшее увеличение этого числа не оказывает существенного влияния на значение вероятности наступления события, однако время проведения вычислений на ЭВМ становится все более заметным. Разница вероятностей для 1000 и 10000 испытаний составляет не более 1,5 - 2%.

Во время выполнения работы также был усовершенствован навык владения программными инструментами, которые использовались для выполнения работы (редактор графических трехмерных моделей 3DSmax и графический редактор Adobe Photoshop, который использовался для подготовки текстур). Кроме того, был освоен способ программирования трехмерной графики в среде Delphi с использованием библиотеки OpenGL

Созданная программа может быть использована на лекциях по математическому моделированию в качестве наглядного пособия реализации Гауссовского распределения случайных чисел, демонстрации метода Монте-Карло, и работы с библиотекой трехмерной графики в среде Delphi.

В целом, результат работы оказался таким, каким и задумывался.

Подпись: