Функция Грина задачи Дирихле.

Для функции U(M) задача Дирихле U(M)=0

Введем :g – гармоническая в D.

Пусть

Применим к g и U вторую формулу Грина

т.к. U и g гармонические

Вычтем из :

В этой формуле присутствует только U на S.

Обозначим

(*)

- функция Грина внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа.

Определение. Функцией Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа называется функция удовлетворяющая условиям:

1. гармоническая в D, исключая точку .

2.в D функция G дополняет представление ,

где g - гармоническая в D

3. На границе (следует из (*)) - регулярная часть функции Грина.

Замечание. Для плоскости G имеет вид , тогда решение внутренней задачи Дирихле для плоскости

L – достаточно гладкая граница конечной области B

Для пространства решение внутренней задачи Дирихле

(9)

Свойства функции Грина. Задачи Дирихле

1.Функция Грина

В точке - особенность, опишем вокруг шар радиуса , это область . В G- гармоническая и не константа , при 0, r0, +.На внутренней границе функция положительная, значит >0 по принципу максимума.

2. - симметричны.

Доказательство:

Рассмотрим две произвольные точки в D: .

Рассмотрим

Рассмотрим область - полученную из D вырезанием шаров радиуса  вокруг , границы этих шаров

В данной области применим вторую формулу Грина

т.к. функции гармонические

внутри

Здесь

Физический смысл, если есть в М, источник, то он действует на так же, как и действовал он на ,если бы находился в .

Рассмотрим установившееся распространение температур в результате действия постоянно действовавшего точечного источника.

Решение ищем в виде

Из опишем шар радиуса r, целиком лежащий в D и проинтегрируем это уравнение по

Используя формулу Остроградского-Гаусса

Функция Грина задачи Неймана.

U(M)=0

Введем :g – гармоническая в D.

Для U справедлива (8)

Введем в рассмотрение

Т.к. G и U гармонические, то применим вторую формулу Грина

(*)

Вычтем (*) из (8) для функции U

Обозначим через , тогда

Потребуем чтобы на S, G удовлетворяла условию

,где S площадь поверхности S

Тогда будет выполнено . Покажем это

.

Ранее было доказано, что для гармонической функции , чтобы задачи Неймана решение имеет вид

(10)

Вообще говоря функция Грина задачи Неймана не является симметричной.

Построение функции Грина.

Рассмотрим следующую задачу: построить функцию Грина задачи Дирихле для полупространства, ограниченного плоскостью z=0.

z M₀(x₀,y₀,z₀)

0 y

x M₁(x₁,y₁,z₁)

Метод отражения: из на плоскость z=0 опускаем перпендикуляр и на продолжении перпендикуляра выбираем так, что для PS если

Эта функция гармоническая всюду в D и т.к. для PS

Замечание. Для полуплоскости y>0

Построим решение внутренней задачи Дирихле для шара, найдя предварительно функцию Грина.

D :

P( ,  , ) Обозначим . Выберем вне шара

R следующим образом:

O r располагается на продолжении .

M₀ M₁ M₁(x₁,y₁,z₁)

(*)

Выберем внутри шара произвольную точку P(,,)

Найдем

Рассмотрим

Они подобны, т.к. у них есть общий угол и

(**)

всюду гармоничная кроме точки P.

Удовлетворяет свойствам функции Грина внутренней задачи Дирихле, тогда решение задачи записывается в виде

Аналогично

Из OP по теореме косинусов

Из OP

(11) –это формула Пуассона

Покажем гармоничность и считаем  непрерывной



т.е. U(M)=0

Докажем, что если МN (NS), то U(M)(M).

Выберем произвольно NS, отметим что (11) справедлива, когда задача Дирихле очевидно имеет решение для (P)1, то U(M)=1,тогда

(***)

Проведем из N сферу радиуса 2,

Проведем еще одну сферу радиуса 

для

т.к. r>

{т.к. U непрерывна по замкнутой сфере, то она ограниченна, то }

т.е.

т.е. (11) дает решение задачи Дирихле для шара.

Введем в рассматриваемой задаче сферические координаты

-угол, то (11) примет вид

(12)

Для плоскости в полярных координатах (11) имеет вид