1. Как будут записываться в программе элементы множества (тип элемент множества)?

2. В каком порядке мы будем перебирать их (инструкция x:=следующий за x;)?

Рассмотрим пример. Подсчитать число счастливых билетов, т. е. таких набо­ров из шести цифр А,B,C,D,E,F, что A+B+C=D+E+F. Будем ре­шать задачу путем перебора всех комбинаций из шести цифр (это решение далеко не самое эффек­тивное). Таким образом, элемент множества задается последова­тель­но из шести цифр, каждая из которых принимает значения от 0 до 9. Для хране­ния этой последовательности используем шесть отдельных переменных. В данном случае можно, не следуя буквально введенным выше схемам, организо­вать перебор с помо­щью шести вложенных циклов FOR:

Program Happy_Ticket ;

Var A,B,C,D,E,F,k :Integer;{ k – число найденных счастливых билетов}

Begin

k:=0;

For A:=0 To 9 Do

For B:=0 To 9 Do

For C:=0 To 9 Do

For D:=0 To 9 Do

For E:=0 To 9 Do

For F:=0 To 9 Do

If A+B+C = D+E+F Then k:=k+1;

Writeln(‘ЧИСЛО СЧАСТЛИВЫХ БИЛЕТОВ=’,k);

End.

Кстати сказать, счастливых билетов 55252 (если считать и 000000), что состав­ляет примерно 1/18 общего числа билетов.

7.2. Последовательности.

Важно научиться строить алгоритмы перебора различных комбинатор­ных объектов - последовательностей, перестановок, подмножеств и т.д.

Схема перебора всегда будет одинакова:

• во-первых, надо установить порядок на элементах, подлежащих перечислению (в частности, определить, какой из них будет первым, а какой последним);

• во-вторых, научиться переходить от произвольного элемента к непосредственно следующему за ним (т.е. для заданного элемента x1 строить такой элемент x2, что x1<x2 и между x1 и x2 нет других элементов).

Hаиболее естественным способом упорядочения составных объектов является лексикографический порядок, принятый в любом словаре (сначала сравни­ваются первые буквы слов, потом вторые и т.д.) - именно его мы и будем чаще всего использовать. А вот процедуру получения следующего элемента придется каждый раз изобретать заново. Пока запишем схему перебора в таком виде:

x:=First;

While x<>Last Do Next(x);

где First - первый элемент; Last - последний элемент; Next - процедура получения следующего элемента.

Hапечатать все последовательности длины N из чисел 1,2,...,M.

First = (1,1,...,1), Last = (M,M,...,M).

Всего таких последовательностей будет M^N. Чтобы понять. как должна действовать процедура Next, начнем с примеров.

Пусть N=4, M=3. Тогда:

Next(1,1,1,1) -> (1,1,1,2) Next(1,1,1,3) -> (1,1,2,1) Next(3,1,3,3) -> (3,2,1,1)

Теперь можно написать общую процедуру Next:

Procedure Next;

Begin

{ найти i: X[i]<M, X[i+1]=M,..., X[N]=M };

X[i]:=X[i]+1;

X[i+1]:=...:=X[N]:=1

End;

Если такого i найти не удается, то следующей последовательности нет - мы добра­лись до последней (M,M,...,M). Заметим также, что если бы членами последова­тельности были числа не от 1 до M, а от 0 до M-1, то переход к следующей означал бы прибавление 1 в M-ичной системе счисления. Полная программа вы­глядит так:

Program Posled;

Const N=4; M=3;

Var x :Array[1..N] Of Byte; i :Byte;

Procedure PrintX;

Var i :Byte;

Begin

For i:=1 To N Do Write(X[i]);

Writeln;

End;

Function Next :Boolean;

Var i :Byte;

Begin

i:=N;

While (i>0) And (x[ i ] = M) Do Begin

x[ i ]:=1;

Dec(i)

End;

If i>0 Then Begin Inc(x[ i ]); Next:=True; End

Else Next:=False;

End;

Begin

For i:=1 To N Do X[ i ]:=1;

PrintX;

While Next Do PrintX;

End.

Опишем рекурсивную процедуру GPosl(k), генерирующую все последовательности длины N из чисел 1,...,M, у которых фиксировано начало X[1],X[2],...,X[k]. Понятно, что при k=N мы имеем тривиальное решение: есть только одна такая последовательность - это она сама. При k<N будем сводить задачу к k+1:

Procedure GPosl (k :Byte);

Var i, j :Byte;

Begin

If k=N Then PrintX(N)

Else For i:=1 To M Do Begin

X[k+1]:=i;

GPosl(k+1);

End;

End;

Вызов: …. GPosl(0); ….