§ 5. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс.

Эмпирическим называется распределение относительных частот. Эмпирические распределения изучает математическая статистика.

Теоретическим называется распределение вероятностей. Теоретические распределения изучает теория вероятностей. В этом параграфе рассматриваются теоретические распределения.

При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики, в частности асимметрию и эксцесс. Для нормального распределения эти характеристики равны нулю. Поэтому если для изучаемого распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения, то можно предположить близость этого распределения к нормальному. Наоборот, большие значения асимметрии и эксцесса указывают на значительные отклонения от нормального.

Можно доказать, что для симметричного распределения (график такого распределения симметричен относительно прямой ) каждый центральный момент нечетного порядка равен нулю. Для несимметричных распределений центральные моменты нечетного порядка отличны от нуля. Поэтому любой из этих моментов (кроме момента первого порядка, который равен нулю для любого распределения) может служить для оценки асимметрии. Естественно выбрать простейший из них, т.е. момент третьего порядка . Однако, принять этот момент для оценки асимметрии неудобно потому, что его величина зависит от единиц, в которых измеряется случайная величина. Чтобы устранить этот недостаток, делят на и таким образом получают безразмерную характеристику.

Асимметрией теоретического распределения называется отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения:

.

Асимметрия положительна, если «длинная часть» кривой распределения расположена справа от математического ожидания; асимметрия отрицательна, если «длинная часть» кривой распределения расположена слева от математического ожидания. Практически определяют знак асимметрии по расположения кривой распределения относительно моды (точки максимума дифференциальной функции): если «длинная часть» кривой расположена правее моды, то асимметрия положительна, если слева – отрицательна.

A_s <0

f(x)

f(x)

A_s>0

.

М₀(Х)

.

М₀(Х)

x

x

Рис.8 Рис.9

Для оценки «крутости», т.е. большего или меньшего подъема кривой теоретического распределения по сравнению с нормальной кривой, пользуются характеристикой – эксцессом.

Эксцессом теоретического распределения называют характеристику, которая определяется равенством

.

Нормальная кривая

Нормальная кривая

Е_к<0

Е_к>0

x

x

f(x)

f(x)

Рис. 10 Рис. 11

Для нормального распределения ; следовательно, эксцесс равен нулю. Поэтому если эксцесс некоторого распределения отличен от нуля, то кривая этого распределения отличается от нормальной кривой: если эксцесс положительный, то кривая имеет более высокую и «острую» вершину, чем нормальная кривая; если эксцесс отрицательный, то сравниваемая кривая имеет более низкую и «плоскую» вершину, чем нормальная кривая. При этом предполагается, что нормальное и теоретическое распределения имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии.