1. Взаимодействие электрических зарядов. Электрическое поле и его силовые характеристики. Поток напряжённости электрического поля. Теорема Гаусса-Остроградского в интегрально-дифференциальной форме и её следствия.

Электрический заряд – скалярная физическая величина, от величины и знака которого зависит взаимодействие тела с другими заряженными телами. Заряд тела обусловлен наличием электрического заряда у элементарных частиц, входящих в состав атомов. Т.е. величина заряда, это, по сути, разница между количеством протонов и электронов.

е = 1,6·10^-19

Распределение заряда в пространстве можно охарактеризовать объемной плотностью заряда ρ=Δq/ΔV. В микроскопически тонком слое толщиной слоя можно пренебречь, тогда распределение заряда характеризуется поверхностной плотностью σ=Δq/ΔS. В ряде задач заряд распределен на телах вытянутой формы, тогда пользуются линейной плотностью заряда τ=Δq/Δl.

Закон Кулона: , где k = 1/4πε₀ – электрическая постоянная. ε₀ = 0,885·10^-11

При этом:

Электрическое поле — особый вид материи, существующий независимо от нас, действующий с некоторой силой на неподвижные электрические заряды.

Характеристика поля не зависит от величины пробного заряда.

Свойства электрического поля

1. Действует на неподвижный заряд с силой F.

2. Порождается неподвижными зарядами.

3. Способно совершать работу по перемещению заряда.

Электростатическое поле – поле, в котором электрические заряды неподвижны и в них отсутствуют электрические токи, т.е. распределение заряда в пространстве не изменяется со временем.

Напряженность электрического поля - это силовая характеристика электростатического поля, численно равная силе, действующей на единичный точечный положительный заряд, помещенный в данную точку, т.е. равная отношение силы, с которой поле действует на пробный заряд q к величине этого заряда E = F/q.

Направление вектора напряженности совпадает в каждой точке пространства с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд.

Для поля точечного заряда

  

Q — заряд, создающий электрическое поле; q — пробный заряд.

Потоком вектора напряженности электрического поля через элементарную площадку dS называется произведение модуля вектора напряженности E на площадь элементарной поверхности и на косинус угла между нормалью к поверхности n и направлением вектора Е. ΔФ = ЕΔScosα.

, где интеграл берется по замкнутой поверхности S; E_n - проекция вектора Е на нормаль к площадке dS. E_n=Ecosα.

Нормаль к замкнутой поверхности выбирается внешняя, а поток может быть положительным или отрицательным в зависимости от направления нормали. Подчеркнем, что поток пропорционален числу силовых линий, пронизывающих поверхность. Силовые линии проводятся т.о., чтобы в каждой точке электрического поля напряженность была касательной к силовым линиям. Густота линий должна быть пропорциональная модулю вектора напряженности.

Поток через замкнутую поверхность численно равен числу пересечений этой поверхности линиями напряженности, выходящие считаются со знаком «+», а входящие – с «-».

Теорема Гаусса: поток напряженности через любую замкнутую поверхность пропорционален суммарному заряду, находящемуся внутри этой поверхности.

В поле точечного заряда q поток ΔФ через поверхность S определяется этим зарядом и телесным углом ΔΩ, под которым эта поверхность видна из точки, где находится заряд ΔФ = kqΔΩ.

Поле бесконечно равномерно заряженной плоскости: Е = σ/2ε_0.

Поле сферически симметрично распределенного заряда: Е = kq/r².

Теорема Гаусса в дифференциальной форме. Связывает значения физических величин, взятых в одной и той же точке пространства.

dE_x/dx + dE_y/dy + dE_z/dz = (1/ε₀)ρ(x,y,z).

Сумма частных производных декартовых проекций вектора по одноименным координатам называется дивергенцией вектора: divE = (1/ε₀)ρ.

2. Работа и энергия электростатического поля. Потенциал и его связь с напряжённостью электростатического поля. Основные уравнения электростатики.

Электростатическое поле – поле, которое создаётся неподвижными заряженными телами, в которых отсутствуют электрические токи (распределение заряда в пространстве со временем не изменяется).

Теорема о циркуляции напряженности электростатического поля: при перемещении по замкнутому пути заряда в электростатическом поле работа по перемещению равна 0.

Потенциальная энергия пробного заряда измеряется работой сил поля при перемещении пробного заряда из рассматриваемой точки в некоторую фиксированную точку пространства – точку отсчёта потенциальной энергии.

Потенциал – отношение потенциальной энергии пробного заряда, находящегося в некоторой точке поля, к величине этого заряда: П. численно равен работе по удалению единичного положительного заряда из данной точки на бесконечность силами поля: A_∞=qφ. Потенциалом считается потенциальная энергия, пронормированная на величину нулевого заряда.

Зная потенциал как функцию координат, можно находить работу, совершаемую силами поля при перемещении пробного заряда из

Связь потенциала с напряжённостью:

Эквипотенциальные поверхности – ГМТ с одинаковыми значениями потенциала. Линии напряженности и эквипотенциальные поверхности ортогональны друг другу, т.е. любая линия напряженности пересекает любую эквипотенциальную поверхность под прямым углом. Т.к. при перемещении вдоль эквипотенциальной поверхности потенциал не изменяется, то в данной точке dφ/dl=0 для любого направления, касательного к экв. поверхности, тогда равна 0 проекция напряженности на любое из этих направлений, т.е. напряженность перпендикуляра экв. поверхности.

Уравнения электростатического поля в вакууме.

d²φ/dx² + d²φ/dy² + d²φ/dz² = -(1/ε₀)ρ – уравнение Пуассона.

В области пространства, где нет зарядов, ρ=0, уравнение Пуассона переходит в уравнение Лапласа:

d²φ/dx² + d²φ/dy² + d²φ/dz² =0.

3.Диэлектрики в электрическом поле. Поляризация диэлектриков, диэлектрическая проницаемость. Вектор электрической индукции. Теорема Гаусса-Остроградского для диэлектриков. Сегнетоэлектричество.

Диэлектрики (или изоляторы) – вещества, не способные проводить электрический ток. Они проводят ток в 10¹⁵ – 10²⁰ раз хуже, чем проводники. Если диэлектрик внести в электрическое поле, то это поле и сам диэлектрик претерпевают значительные изменения.

Дипольный момент молекулы: р = Σq_ir_i. У симметричных молекул в отсутствие внешнего электрического поля центры тяжести положительных и отрицательных зарядов совпадают. Такие молекулы не обладают собственным дипольным моментом и называются неполярными. У несимметричных молекул центры тяжести зарядов разных знаков сдвинуты относительно друг друга. В этом случае молекулы обладают собственным дипольным моментом и называются полярными. Под действием внешнего электрического поля заряды в неполярной молекуле смещаются друг относительно друга. р = βεЕ, где β – поляризуемость молекулы. Действие внешнего поля на полярную молекулу сводится в основном у стремлению повернуть молекулу так, чтобы ее дипольный момент установился по напрвлению поля.

Поляризация диэлектриков. Суммарный дипольный момент диэлектрика равен 0.

Под действием внешнего поля диэлектрик поляризуется. Это означает, что результирующий дипольный момент диэлектрика становится отличным от 0. В качестве величины, характеризующей степень поляризации диэлектрика, естественно взять дипольный момент единицы объема. Р = Σр/ΔV – поляризованность диэлектрика. У изотропных диэлектриков любого типа поляризованность связана с напряженностью поля в той же точке: Р = χε₀Е, где χ – не зависящая от Е величина, называемая диэлектрической восприимчивостью диэлектрика.

Т еорема Гаусса для диэлектриков: поток электрического смещения через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключённых внутри этой поверхности сторонних зарядов.

Заряды, входящие в состав молекул диэлектрика, называются связанными. Под действием поля связанные заряды могут лишь немного смещаться из своих положений равновесия. Заряды, которые находятся хоть и в пределах диэлектрика, но не входят в состав его молекул, а также заряды, расположенные вне диэлектрика, называются сторонними.

D=ε₀E + Р – электрическое смещение (электрическая индукция. Это вспомогательная величина, источником которой являются только сторонние заряды ρ.

D = ε₀(1+χ)E, где χ – диэлектрическая восприимчивость диэлектрика

ε₀ =1+χ - диэлектрическая проницаемость.

Сегнетоэлектричество - электрический аналог ферромагнетизма. Подобно тому как в ферромагнитных веществах при помещении их в магнитное поле проявляется остаточная магнитная поляризация (момент), в сегнетоэлектрических диэлектриках, помещенных в электрическое поле, возникает остаточная электрическая поляризация.

4. Проводники в электрическом поле. Емкость, конденсаторы. Энергия электрического поля в конденсаторе.

Проводники в электрическом поле. По своим электрическим свойствам все вещества можно разделить на проводники и диэлектрики. В проводниках под действием постоянного электрического поля возникает электрический ток, в диэлектриках – нет. Это объясняется принципиальным различием их структуры. В проводниках существуют носители тока, или свободные заряды, т.е. заряженные частицы, которые под действием поля могут перемещаться в пределах проводника. В диэлектриках таких свободных зарядов нет, все заряженные частицы удерживаются в пределах атомов, молекул, ионов и под действием поля испытывают лишь микроскопические смещения.

Если сообщить проводнику заряд или поместить его во внешнее электростатическое поле, то через достаточно короткий промежуток времени в проводнике установится равновесное распределение заряда, при котором электрический ток отсутствует. Если нейтральный проводник поместить во внешнее электростатическое поле, то в нем произойдет перераспределение зарядов – явление электростатической индукции – т.о., что поле индуцированных зарядов скомпенсирует внешнее поле внутри проводника.

Напряженность на поверхности проводника перпендикулярна этой поверхности, поскольку последняя является эквипотенциальной, причем Е = σ/ε₀.

Электроемкость. Т.к. в условиях электростатического равновесия значения потенциала во всех точках проводника одинаковы, можно говорить, что потенциал φ проводника пропорционален заряду: φ = q/C.

Отношение заряда к потенциалу является для данного проводника постоянной величиной – электрической емкостью проводника: С = q/φ. Емкость зависит от размеров и форм проводника и не зависит от материала, т.к. существует единственное распределение заданного заряда по заданной поверхности, при котором всюду Е = 0. Емкость численно равна заряду, который необходимо сообщить проводнику, чтобы увеличить его потенциал на единицу.

Конденсатор – система, состоящая из 2-х проводников, которым сообщены заряды одинаковой абсолютной величины, но противоположных знаков. Обкладки – проводники в форме тонких пластин той или иной формы. Пространство между ними заполнено диэлектриком.

Разность потенциалов между обкладками - напряжение между обкладками. U = Ed = (σ/ε₀ )d, где d – расстояние между обкладками.

C = q/U – емкость конденсатора. С = ε₀S/d. если пространство между обкладками заполнено однородным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε, то С = εε₀S/d.

Энергия электрического поля. Энергия заряженного конденсатора – энергия его электрического поля. Для его описания вводится плотность энергии поля – энергия поля в единице объёма: ω=ΔW/ΔV, ΔW – энергия поля в этом объёме ΔV. При пренебрежении краевыми эффектами, электрическое поле конденсатора сосредоточено в пространстве между обкладками и однородно, поэтому плотность энергии одинакова во всех точках между обкладками и равна отношению полной энергии поля к объёму пространства, которое оно занимает: ω = W/V = εε₀E²/2.

По закону сохранения энергии работа, совершенная при разрядке конденсатора, определяет энергию, которой он обладал. Энергия заряженного конденсатора может быть представлена в виде:

W = CU²/2 = q²/2C = εε₀E²V/2.

5. Постоянный электрический ток. Закон Ома в дифференциальной форме. Электродвижущая сила.

Электрическим током называется упорядоченное движение электрических зарядов.

Условия существования электрического тока:

1) наличие свободных зарядов в проводнике;

2) наличие электрического поля внутри проводника.

Сила тока - скалярная величина, равная отношению величины заряда, протекающего через поперечное сечение проводника за некоторый интервал времени, к величине этого интервала.

Для постоянного тока, т. е. тока, не изменяющегося со временем, справедлива следующая формула: I=q/t.

Напряжением на участке U называется отношение работы электростатических и сторонних сил, действующих на переносимый заряд, к величине этого заряда.

Закон Ома в дифференциальной форме.

Закон Ома в дифференциальной форме справедлив для любой точки участка цепи как с постоянным, так и с переменным сечением. Для однородного участка цепи плотность тока равна

;     отсюда:     .

Подставим эту формулу, а также формулу для сопротивления (2.26) в закон Ома (2.24)

Учтем, что для однородного поля справедлива формула (2.19)

Тогда

Величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной проводимостью, т. е.

В векторной форме формулу (2.27) можно записать следующим образом

Формула (2.28) выражает закон Ома в дифференциальной форме. Плотность тока пропорциональна напряженности электрического поля и имеет одинаковое с ней направление (рис. 2.8).

Рис.2.8

В такой форме закон Ома выражает связь между величинами, относящимися к данной точке, и поэтому применим к неоднородным проводникам.

ε (э.д.с.) - работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда по участку цепи

По аналогии с электрическим полем (см. формулу (2.3)), вводится понятие напряженность поля сторонних сил:

Тогда для любой точки участка цепи, содержащего ЭДС (рис. 2.9), справедлив закон Ома в дифференциальной форме (см. (2.28))

Рис.2.9

В интегральной форме закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС (участок 1 - ε – 2 на рис. 2.9), имеет вид

где R_1-2 - сопротивление участка 1 - ε - 2;      - падение напряжения (напряжение).