5.2 Метод координації в багаторівневих нечітких системах планування

Розглянемо двохступеневу систему. Вектор , відноситься до і-го елементу, повинен влаштовувати локальним границям:

(5.53)

де – деяка множина в -мірному евклідовому просторі.

При передачі інформації на верхній рівень виконується її агрегування, тобто від елементів в центру поступає не вектор , а деякий векторний показник роботи елементів, який залежить від :

. (5.54)

Зауважимо, що число показників, як правило, набагато менше, ніж розмірність вектора , а точний вид множини і функції центру може бути невідомим.

В центрі виконується подальше агрегування інформації, і на основі поступаючи від елементів показників формується векторний критерій центру H:

(5.55)

де .

Модель центру може бути задана різними способами, але в будь якому випадку будемо представляти, що існує оптимальний вектор і відповідний до нього вектор , причому виконується наступна умова: ні для жодного і не існує такої точки , що

(5.56)

де хоча б одна нерівність виконується строго.

Смисл цієї умови полягає в тому, що елементи не можуть збільшити значення якого-небудь показника по зрівнюванню з оптимальними, с точки зору центра, значенням без зменшенням хоча б одного із інших показників.

Приклад 5.1. Розглянемо систему оптимального планування підприємства, причому елементами рівня цієї системи є технологічні процеси з діючими на них автоматизованими системами управління, а центром – плануючий орган підприємства. В моделі елементів, які можуть мати дуже складну структуру і велику розмірність, входять технологічні керуючі впливи, наприклад температура, тиск і т.д. Центр ж інтересує загальні показники, в частці випуск продукції і технологічні витрати. Ясно, що при будь-якому розумному критерії центра оптимальним режимом технологічних процесів може бути тільки такий режим, по зрівнянню з яким неможна одночасно збільшити випуск продукції і знизити витрати (в критерії витрати входять з протилежним знаком).

Із (5.50) випливає, що оптимальний вектор належить множині Парето чи множині ефективних точок наступної задачі векторної оптимізації:

(5.57)

Відомо, що будь-яку точку із множини Парето, в тому числі і точку , можна виділити, якщо зробити повірку векторного критерію елементів скалярним шляхом введення вектора параметрів , який задає чи відповідну важливість показників, чи умову на їх абсолютне значення.

Таким чином, вектори можна використовувати в якості координуючого сигналу, який центр відправляє елементам, і процедура координації буде складатися із почерговому розв’язку локальних задач оптимізації і координуючої задачі.

При розв’язку задач локальної оптимізації виконується відображення

(5.58)

де і – відповідно координуючий сигнал центру, що поступає до і-го елемента на t-му кроці ітераційної процедури, і відповідний цьому сигналу вектор показників із множини Парето цього елементу.

При розв’язку координуючої задачі виконується відображення

(5.59)

де – множина ефективних векторів F, отриманих центром від елементів до t-го кроку.

Конструктивні алгоритми розв’язку задачі (5.58) і (5.59) при умові, що центр намагається максимізувати цільову функцію , а на критерії накладені умови типу нерівності, приведені в [44]. Частковим випадком при цьому виступає відома задача розподілу ресурсів:

(5.60)

(5.61)

. (5.62)

Розглянемо алгоритм розв’язок задачі центра (5.55) в ситуації, коли модель центра є нечіткою в теорії Заде [1], а прийняті рішення здійснюються експертом в ході процедури людина-машина. При цьому будемо виходити із задачі (5.60) і (5.62).

Сконкретизуємо вид нечіткості. Будемо рахувати що умови (5.61) формуються експертом словесно, наприклад : «Допустимо, щоб було не менше ніж С₁ і бажано, щоб не менше, ніж С₂».

Цій фразі можна поставити в відповідності нечітку множину. Найбільш простий спосіб задання функції відповідності цієї множини знаходиться наступною формулою [4]:

В [45, 47] приведені більш складні формули, враховуючи не лінійність функції відповідності на відрізку [C₁, C₂]. Таким чином, k-му обмеженню ставиться у відповідність функція відповідності . Східним образом можна побудувати нечітку множину , відповідно цільової функції .

Будемо рахувати, що експерт добивається максимізувати свою функцію корисності, яка знаходиться через функцію відповідності і вектор терезів , де вказує степінь важливості k-го критерію або відповідному цьому критерію функції :

Із (6.60) і (6.61) бачимо, що в k-ий критерій центру входить k-і показники елементів , тому задає навіть відносну важність показників елементів і являється координуючим сигналом, який центр посилає елементам.

Функції можуть мати різну форму, частково:

Вагові коефіцієнти знаходять шляхом обробки відповідей експерта на задані йому питання. Успіх процедури людина-машина в багато чому залежить від того, чи будуть ці питання достатньо природними для експерта. На наш погляд, цій умові задовольняє процедура, в якій експерту представляють для порівняння два можливих варіанта і просять їх якісно порівняти, використовуючи заданий набір термів. З відси [5] введемо набір: «еквівалентно», «дещо краще (гірше)», «набагато краще (гірше)», «строго краще (гірше)».

Ці слова являються лінгвістичними мітками нечітких множин, згаданих на базовій множині

,

де , – допустимі.

Так як , то

Наприклад, функції відповідності терма «еквівалентно» і «набагато краще» можна задати формулами відповідно

Нехай при порівнянні варіантів і експерт вибрав лінгвістичну мітку [функція відповідності відповідної нечіткої множини ]. Тим самим задається нечітка множина якій мусить належати вектор .

Функція відповідності цієї множини

де

Якщо проводиться L порівнянь, то отримаємо функції відповідності. Результуюча функція відповідності знаходиться як перетин цих функцій:

.

Вектор, який має максимальне значення функції приналежності,

.

Цей вектор і є координуючим сигналом, який посилає елементам центр.