Розділ 3 оптимізація управління промисловими об’єктами в нечіткому середовищі

3.1 Постановка задачі

Завдання нечіткої оптимізації формулюється наступним чином: знайти такий вектор , для якого

(3.1)

при умові

(3.2)

Тут і – нечіткі функції , : , де і – сукупності нечітких множин, визначених на множині дійсних чисел R і на n просторі ; –нечіткий максимум; – нечіткі числа.

В [11] розрізняють наступні види нечіткої функції: нечітко обмежена функція; нечітке розширення чіткої функції; нечітка функція від чітких змінних; чітка функція від нечітких змінних.

Якщо нечіткі функції і є нечітке розширення чіткої функції, тобто є звичайними функціями, але з нечіткими коефіцієнтами або змінними, тоді задача (3.1) – (3.2) являє собою задачу нечіткого математичного програмування.

В [11] дається визначення поняття нечіткого максимуму (мінімуму). В класичних задачах оптимізації максимуму (мінімуму) функція в заданій області досягається в певній точці . Однак в задачах нечіткої оптимізації потрібно знати поведінку функції не тільки у точці , але і в її околі. Для цієї мети використовується поняття максимізуючої (мінімізуючої) множини.

Нехай – реальна функція, визначена на множині X. Припустимо, що вона обмежена зверху і знизу . Максимізуюча множина М функції є нечіткою множиною з функцією приналежності:

, (3.3)

Нечіткий максимум функції , тобто нечітка множина на Y, є образом максимізуючої множини при відображенні f з функцією приналежності:

Тут Y –область змін функції .

Мінімізуюча множина функції визначається як мінімізуюча множина функції – .

Введемо поняття максимуму чіткої функції в нечіткій області D, яке знадобиться нам надалі. Для максимуму чіткої функції в нечіткій області можливі наступні варіанти: визначення чіткого максимуму функції в нечіткій області; визначення нечіткого максимуму функції у нечіткій області D.

Під завданням максимізації функції в нечіткій області розуміється наступне: знайти такий елемент х* Х, який з найбільшим ступенем належить як максимізуючій множині М функції , так і нечіткій області D. Ступінь приналежності цього елементу:

Максимум функції досліджений в [25]. Для цієї мети нечітка область D так розбивається на -перерізи ( -рівні), що:

Функція незростаюча, тому якщо вона неперервна, то максимум досягається в такій точці *, в якій . Отже, і . Таким чином, початкове завдання чіткої максимізації чіткої функції в нечіткій області D зводиться до еквівалентного завдання максимізації в чіткій області за умови неперервності .

У свою чергу нечіткий максимум функції в нечіткій області D визначається таким чином: нехай М( ) буде множиною елементів, що максимізують функцію на :

Нечітка множина максимізуючих елементів при цьому для справедливим є наступне твердження:

.

Тоді нечітким максимумом функції у нечіткій області D називається нечітка множина на R,яку отримуємо з М за допомогою f, тобто:

Слід зазначити, що залежно від виду функцій і в (3.1) – (3.2) розрізняють наступні завдання: оптимізація з нечіткими відносинами [24]; оптимізація з нечіткими обмеженнями [18 – 21]; оптимізація з нечіткою метою [21]; оптимізація з нечіткою метою і нечіткими обмеженнями [21].