2. Как представляется система доказательств в системе опровержения на основе резолюции?
В типичной задаче на доказательство теорем имеем множество Фо формул, исходя из которого нам нужно доказать некоторую формулу F. Системы, основанные на резолюции, предназначены для создания доказательства путем построения противоречия или опровержения. При таком опровержении сначала берется отрицание целевой формулы F и добавляется к множеству Фо. Это расширенное множество затем преобразуется в множество предложений, после чего резолюция используется при попытке вывести противоречие, представляемое пустым предложением NIL.
Предположим, что
некоторая F
логически следует из Фо.
Тогда по определению каждая интерпретация,
удовлетворяющая Фо,
также удовлетворяет и F.
Никакая
интерпретация, удовлетворяющая Фо,
не может удовлетворять
и, следовательно, никакая интерпретация
не может удовлетворять объединению Фо
и
.
Множество формул, которое не может
удовлетворяться ни при какой интерпретации,
называется неудовлетворимым. Таким
образом, если F
следует из Фо,
то множество
является неудовлетворимым.
Если резолюция многократно применяется к некоторому неудовлетворимому множеству предложений, то в конце концов будет построено пустое предложение NILL.
Рассмотрим простой пример такого процесса. Пусть предметная область – это множество прямых на плоскости. Предположим, высказаны следующие утверждения:
Прямая А пересекает прямую В
.Прямая В параллельна прямой С
.Если прямые параллельны, то они не пересекаются
.
Если прямые не пересекаются, то они параллельны
.
Если прямая х параллельна прямой у, то прямая у параллельна прямой х
.
Если прямая х параллельна прямой у, а прямая у параллельная прямой z, то прямая х параллельна прямой z
.
Из них необходимо доказать следующее утверждение.
Прямые А и С пересекаются
.
Множество предложений, соответствующих утверждениям с первого по шестое, объединенным с отрицанием седьмого утверждения, имеют вид:
.
.
.
.
.
.
.
Чтобы доказать нашу теорему опровержением с помощью резолюции, необходимо построить резольвенты для множества предложений 1 – 7, добавить эти резольвенты к множеству и продолжать таким образом, пока не будет получено пустое предложение. Одно из возможных доказательств (их имеется более одного) создает следующую последовательность резольвент:
резольвента 7 и 4
с использованием подстановки
.
резольвента 2 и 5
с использованием подстановки
.
резольвента 6 и 8
с использованием подстановки
.
11.
резольвента 9 и 10 с использованием
подстановки
.
12.
резольвента 3 и 11 с использованием
подстановки
.
13. NILL ( резольвента 1 и 12.
Систему опровержения на основе резолюции можно представить как систему продукций. Глобальной базой данных является множество предложений, а продукционные правила – резолюции. Правила продукции применяются к парам предложений из базы данных при создании некоторой резольвенты выведенного предложения. Тогда новой базой данных становится прежнее множество предложений плюс выведенная резольвента. Условием конца работы для этой системы продукций является результат проверки – содержит ли база данных пустое предложение.
Доказательство с помощью резолюции наглядно можно проиллюстрировать, используя граф, называемый графом опровержения. Вообще, опровержением называется доказательство невыполнимости произвольного множества предложений.
При построении графа опровержения, представляющего собой дерево, предложения из Ф записываются на концевых вершинах графа. Если два предложения, находящихся на каких-либо вершинах, разрешаются, т. е. они имеют резольвенту, то их резольвента записывается на вершине, идущей непосредственно за этими вершинами, которая соединяется с ними ребрами. Корнем дерева опровержения служит пустое предложение, обозначаемое английским словом NILL (NIL – ничего, нуль). Дерево опровержения в отличие от ранее рассмотренных деревьев строится, начиная с концевых вершин, а не с корня.
Стратегия управления направляет поиск опровержения, наращивая граф вывода до тех пор, пока не будет создано дерево, корневая вершина которого помечена пустым предложением NIL.
Билет №14