Подставляя (17.8) в (17.7), получаем

, (17.9)

откуда в силу независимости (и, следовательно, произвольности) вариаций и следуют уравнения Гамильтона (17.4).

Замечание 1. Сравнивая метод Гамильтона с методом Лагранжа, необходимо отметить следующее. В рамках классической механики трудно указать такую динамическую задачу, которую нельзя было бы решить, пользуясь уравнениями Лагранжа, и для решения которой следовало бы обратиться к уравнениям Гамильтона (17.4). Действительное преимущество метода Гамильтона в рамках самой классической механики состоит в том, что он позволяет существенно упростить рассмотрение некоторых общих проблем механики (например, проблемы отыскания интегралов движения – см. § 18). Но главное преимущество метода Гамильтона состоит все-таки в том, что он дает необходимую математическую основу для построения квантовой механики (см. часть IV) и статистической физики (т.е. его главное преимущество проявляется вне рамок самой классической механики).

Замечание 2. Уравнение (17.5) в методе Гамильтона важной роли не играет; оно указывает только на то, что функция Гамильтона механической системы зависит или не зависит явно от времени одновременно с ее функцией Лагранжа. Поэтому связь с законом сохранения энергии точно такая же, как и (см. § 14): если явно не зависит от времени (т.е. ), то полная энергия системы сохраняется. Действительно, записывая полную производную за временем от

,

и подставляя сюда вместо и их выражения из (17.4), получаем

. (17.10)

Отсюда видно, что при функция Гамильтона совпадает с полной энергией системы:

. (17.11)

Замечание 3. Закон сохранения обобщенного импульса в методе Гамильтона формулируется аналогично закона (14,…) в методе Лагранжа. Действительно, сравнивая уравнения Лагранжа (14.5) с уравнениями Гамильтона , имеем

. (17.12)

Из (17.12) видно, что какая-либо координата является циклической (см. § 14) одновременно и по отношению к , и по отношению к , т.е. мы имеем

, если (17.13)

в полной аналогии с (14.6).

§ 18. Скобоки Пуассона.

В конце § 17 было показано, как по виду функции Гамильтона можно судить о сохранении полной энергии и обобщенных импульсов механической системы. Рассмотрим теперь более общую проблему отыскания любых первых интегралов (а не только законов сохранения – см. § 8) уравнений Гамильтона (17.4), а именно: найдем необходимые и достаточные условия, при выполнении которых какая-нибудь функция обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени F(q,p,t) является первым интегралом уравнений движения.

С этой целью запишем полную производную от F по временем:

Подставляя вместо и их выражения из канонических уравнений движения (17.), получаем

, (18.1)

где введено обозначение

. (18.2)

Выражение (18.2) называется скобками Пуассона для величин H и F.

Т.о., необходимое и достаточное условие того, чтобы величина F(q,p,t) была первым интегралом движения, согласно (18.1) записывается в виде требования

. (18.3)

Если же величина F явно от времени не зависит, т.е. и, следовательно , то условием, при котором эта величина является сохраняющейся, является требование (следствие (18.3))

, (18.4)

т.е. скобки Пуассона F с функцией Гамильтона H должны обращаться в нуль. Условиями (18.3) ли (18.4) можно пользоваться для отыскания первых интегралов движения, в том числе и законов сохранения. Таким образом, метод Гамильтона позволяет предложить систематический способ решения проблемы отыскания интегралов движения.

Введение скобок Пуассона дает возможность представить уравнения Гамильтона (17. ) в абсолютно симметричном виде по отношению к переменным и . Для этого в выражении (18.2) положим и ( ). Пользуясь в вычислениях символом Кронекера

, (18.5)

имеем:

, (18.6)

. (18.7)

С учетом результатов (18.6) и (18.7) уравнения Гамильтона (17. ) можно переписать в симметричном виде

(18.8)

Учитывая важность понятия скобок Пуассона для развития математического аппарата современной теоретической физики (особенно квантовой механики), изложим здесь основные математические сведения о скобках Пуассона для любой пары функций и . В этом случае скобки Пуассона определяются выражением, аналогичным (18.2),

, (18.9)

где, как и в (18.2) мы используем сокращенные обозначения и . Скобки Пуассона (18.9) удовлетворяют целому ряду тождеств, вытекающих непосредственно из их определения:

; (18.10)

; (18.11)

, если ; (18.12)

; (18.13)

; (18.14)

, (18.15)

где под следует понимать любую обобщенную координату , импульс или время . Если одна из функций или совпадает с или , то скобки (18.9) принимают вид (см. вычисления (18.6) и (18.7)):

. (18.16)

Пологая в (18.16) функцию равной и , получаем

(18.17)

где дается формулой (18.5).

Скобки (18.17) называются фундаментальными (или основными) скобками Пуассона. Их важное значение состоит в том, что они являются классическими аналогами квантово-механических перестановочных соотношений для операторов координаты и импульса микрочастицы (см. часть IV).

То обстоятельство, что для пары величин и скобки Пуассона согласно (18.17) равны единице можно рассматривать как определение канонической сопряженности этих величин: любые две величины и будем называть канонически сопряженными, если они удовлетворяют условиям

. (18.18)

Используя тождества (18.13) – (18.15) легко проверить справедливость тождества для трех функций и

, (18.19)

которое называется тождеством Якоби. Из него вытекает важная теорема Пуассона: если функции и являются первыми интегралами уравнений движения, то скобки также являются сохраняющейся величиной.

Доказательство. По условию теоремы с учетом (18.3)

и необходимо доказать, что такому же условию удовлетворяет и величина , т.е. что справедливо требование

.

Действительно, пологая в (18.19) , имеем, пользуясь (18.10):

.

Поэтому, используя (18.15) и (18.13) получаем:

,

т.е. , что и было, требовалось доказать. Теорему Пуассона таким образом, можно использовать для нахождения новых интегралов движения по известным сохраняющимся величинам, именно: в том случае если не сводится к постоянной или к функции от исходных интегралов и , то дает новый интеграл движения.

Пример. Пусть известно, что у свободной материальной точки сохраняются величины и . Тогда из теоремы Пуассона следует, что сохраняется и величина . Но согласно (18.16)

,

т.е. при этом обязательно сохраняется и проекция импульса .

Замечание. Алгебра скобок Пуассона (см. (18.10) – (18.15) и (18.19)) аналогична так названной алгебре Ли, поэтому математический аппарат скобок Пуассона имеет глубокие связи с такими разделами математики как с теорией алгебр Ли и, следовательно, с теорией групп Ли. Это обстоятельство дает возможность применять эти мощные современные математические методы для исследования общих проблем как классической механики, так и других разделов физики, где применим метод Гамильтона.