§ 16. Принципы наименьшего действия Гамильтона-Остроградського.

Математические методы, развитые в § 15, позволяют получить новую формулировку классической механики, когда в качестве основной ее аксиомы принимается некоторый интегральный вариационный принцип – принцип наименьшего действия. Этот принцип связан с изучением экстремальных свойств некоторой интегральной характеристики движения механической системы, являющейся в математическом плане функционалом типа (15.10).

На справедливость сделанного утверждения нас наталкивают следующие формальные соображения. Если в уравнениях Эйлера (15.20) произвести формальные замены: , , и , то уравнения (15.20) совпадут с уравнениями Лагранжа в форме (13.18). Это означает, что уравнения Лагранжа (13.18), которые являются дифференциальными уравнениями движения голономных механических систем с идеальными связями и потенциальными (или обобщенно-потенциальными) активными силами, можно рассматривать как уравнения Эйлера по отношению к основной вариационной задаче для некоторого функционала S типа (15.10), имеющего с учетом указанных формальных замен вид

. (16.1)

Т.о., результаты § 15 позволяют утверждать: уравнения Лагранжа (13, 18) равносильны требованию обращения в нуль вариации функционала (16, 1):

. (16.2)

Для того, чтобы раскрыть физическое содержание вариационного уравнения (16,2), т.е. возвести его в статус физического принципа, необходимо осмыслить физическую постановку задачи, приводящую к необходимости и достаточности требования (16,2), а также придать физический смысл функционалу . С этой целью удобно воспользоваться понятием расширенного конфигурационного пространства механической системы, которым называется абстрактное пространство обобщенных координат и времени размерности , где - число степеней свободы системы (просто конфигурационным пространством называется пространство измерений – см. напр., Голдстейна).

Так как каждый набор координат задает пространственное положение системы в момент времени (т.е. конфигурацию системы), то каждой точке рассмотренного конфигурационного пространства с координатами однозначно соответствует определенная конфигурация системы в момент . Для наглядности условимся использовать следующее геометрическое изображение рассмотренного конфигурационного пространства на плоскости: по оси абсцисс будем откладывать время , а по оси ординат – совокупность значений всех обобщенных координат ; тогда имеем соответствие: точки на плоскости соответствует определенная конфигурация системы в момент .

Теперь поставим следующую физическую задачу.

П усть за небольшой (но конечный) промежуток времени связанная система переходит в результате своего движения из некоторой заданной конфигурации в новую заданную конфигурацию (см. рис. (16.1)).

Рисунок 16.1

Наложенные на систему связки допускают множество различных кинематически возможных движений за одно и то же время системы (см. тему (5) § 12, особенно рис. (12.3)), которые на рис. (16.1) изображены пунктирными конфигурационными траекториями ; при этом одно из этих движений является действительным (сплошная траектория на рис. (16,1)). Возникает задача: как из всех кинематически за одно и то же время движений выделить действительное движение системы, т.е., другими словами, как найти закон движения механической системы, если и заданы граничными условиями

(16.3)

Требование (16.2) и является достаточным условием решения поставленной физической задачи, т.е. из (16.2) автоматически вытекает закон движения системы.

Действительно, для изучаемой системы, как мы показали в начале этого параграфа, из (16.2) автоматически с необходимостью вытекают (в качестве уравнений Эйлера) уравнения Лагранжа (13.18), решения которых и дают закон движения системы.

Докажем теперь необходимость требования (16.2) для действительного движения голономной системы с идеальными связями и обобщенно-потенциальными активными силами, т.е. докажем, что из уравнений Лагранжа (13.18) с необходимостью вытекает условие (16.2). Для этого каждое из уравнений (13.18)

,

с номером умножим на и сложим полученные результаты, что приводит к уравнению

. (16.4)

С помощью очевидного тождества

перепишем (16.4) в виде

или с учетом определения вариации функции (см. § 15) и , в виде

. (16.4’)

Умножая (16.4’) на и интегрируя в пределах от до , получаем

,

откуда, учитывая, что согласно (16.3) , и принимая во внимание перестановочность операций интегрирования и варьирования (15.28), мы и приходим к необходимости условия (16.2).

Изложенное приводит нас к выводу, что функционал , определенный формулой (16.1), является важнейшей скалярной характеристикой движения механической системы, которая называется функцией действия или просто действием по Гамильтону. Действие , имеющее размерность произведения энергии на время ( ), обладает следующими общими свойствами: 1) есть функционал, областью определения которого является класс кинематически возможных движений системы за одно и то же время; 2) принимает экстремальное (минимальное при достаточно малом времени рассмотрения движения) значение для действительного (фактически происходящего) движения системы.

Теперь мы можем сформулировать один из важнейших вариационных принципов классической механики – принцип наименьшего действия (ПНД) Гамильтона-Остроградского (первая половина ХІХ ст.): среди всех кинематически возможных движений механической системы из одной конфигурации в другую (близкую к первой), совершаемых за один и тот же промежуток времени, действительным является то движение, для которого действие по Гамильтону будет наименьшим; математическое выражение ПНД имеет вид (16.2), где - символ неполной (изохронной) вариации (т.е. в отличие от полной вариации в ней время не варьируется).

Хотя выше мы привели доказательство справедливости ПНД в форме Гамильтона-Остроградского только для голономных механических систем с идеальными связями и потенциальными (или обобщенно-потенциальными) активными силами, однако его можно обобщить и на голономные системы с неконсервативными активными силами и даже распространить на неголономные механические системы (см. Ольховский, Жирнов, Голдстейн).

Это фактически означает, что кроме индуктивного метода построения классической механики (когда за основу построения принимаются дифференциальные уравнения Ньютона) существует и дедуктивный метод, когда в качестве основной и единственной аксиомы принимается ПНД Гамильтона-Остроградского, при этом уравнения движения (13.13) выступают как уравнения Эйлера некоторой вариационной задачи.

Замечание 1. Кроме ПНД в форме Гамильтона-Остроградского известен также ПНД в форме Мопертюи-Лагранжа, в котором используется действие по Лагранжу и понятие полной вариации (когда варьируются не только и , но и время движения системы из одной конфигурации в другую). Этот принцип является менее общим, так как применим только для консервативных и при том голономных систем (см. Ольховский, Голдстейн).

Замечание 2. Преимущество вариационной концепции классической механики (по сравнению с индуктивным способом ее построения) заключается прежде всего в следующем. Во-первых, ПНД (16.2) инвариантен относительно любого точечного преобразования обобщенных координат (13.14), в том числе и относительно точечного преобразования, связанного с переходом от инерциальной системы отсчета к любой неинерциальной системе отсчета, т.е. вариационная концепция не зависит от выбора системы отсчета. Во-вторых, ПНД (16.2) нетрудно распространить на системы, имеющие бесконечно большое число степеней свободы, т.е. на системы, не являющиеся механическими (например, на электромагнитные поля и поля элементарных частиц); другими словами, во всех известных ФКМ при построении физических теорий можно сформулировать вариационные принципы, аналогичные принципу (16.2) и позволяющие получать соответствующие им «уравнения движения» (например, уравнения Максвелла в классической электродинамике, уравнение Шредингера в квантовой механике и т.д.). Возможность формулировки ПНД в различных областях физики свидетельствует о единстве физической реальности и общности форм проявления различных физических процессов.

Замечание 3. Из ПДН (16.2) вытекает важное следствие: функция Лагранжа механической системы определена лишь с точностью до полной производной по временем от произвольной функции обобщенных координат (но не скоростей!) и времени, т.е. (16.2) и, следовательно, уравнения Лагранжа (13.18) инварианты относительно преобразования

. (16.5)

Действительно, действия и , определяемы функциями Лагранжа и по формуле (16.1), связанны соотношением

,

откуда видно, что условие совпадает с условием , что и требовалось доказать. Правилом (16.5) часто пользуются для выбора самой простой и удобной .

Замечание 4. Т.к. для уравнений движения существенна не самая вариация , а только факт его равенства нулю, , то умножение на произвольную константу также не изменит уравнений движения. Поэтому, казалось бы, что можно считать, что определяется также и с точностью до мультипликативной постоянной. Этому, однако, препятствует одно физическое соображение, которое можно назвать условием асимптотической аддитивности: если некоторая механическая система (І+ІІ) разделяется на две подсистемы І и ІІ так, что минимум расстояния между материальными точками разных подсистем , то физически очевидно, что

. (16.6)

Поэтому при умножении и на разные (произвольные) множители равенство (16.6) разрушилось бы, что недопустимо. Т.о., остается только возможность умножать одновременно все функции на одну и ту же константу – но такая операция по существу сводится к изменению системы единиц. Поэтому свободы умножения на произвольную константу нет.

Замечание 5. Ядро , т.е. содержит только от обобщенных скоростей (а не ), вследствие чего уравнения движения (Лагранжа-Эйлера) есть уравнения 2^го порядка, т.е. их решения (частные) однозначно определяются заданием состояния системы и в момент .

На самом деле аргументация развивается в противоположном направлении: мы поэтому и допустим в только (но не ) чтобы состояние системы определялось и . Можно развивать теории с высшими производными , для которых в входят и , и и т.д. (Рассмотрение этих теорий полезно в некоторых специальных разделах физики (например, в некоторых направлениях развития теории физических полей).

Замечание 6. Если характерные для физической задачи величины размерности действия сравнимы по величине с квантом действия (постоянной Планка), то рассмотрение движения физической системы следует вести на основе более общей механики – квантовой механики (см. часть IV).