33.Системи Поста. Обчислюваність за Постом.

Канонiчною системою Поста над алфавiтом T називають формальну систему (T*, A, P), в якої множина аксiом A є скiнчен-ною підмножиною множини T*, а множина правил виведення P складається з слiв вигляду ₀S₁₁..._m-1S_m_m . Тут T, всі _k та _і  фiксованi слова iз T* , всі символи S_kT, причому всi j_i{1,...,m}.

Символи S_k призначенi для позначення довiльних слiв iз T*.

Системи Поста звичайно позначають у вигляді P =(T, A,P).

Множина правил P визначає на словах iз T* вiдношення безпосереднього виведення таким чином: _Р , якщо iснує правило ₀S₁₁..._m-1S_m_m P таке, що для деяких слiв ₁, ..., _mT* маємо =₀₁₁..._m_m , = .

Рефлексивно-транзитивне замикання вiдношення _Р позначаємо . Інакше кажучи,   означає, що слово  отримане iз слова  за допомогою скiнченної кiлькостi застосувань правил iз P.

Слово  породжується системою Поста P, якщо   для деякої A. Цей факт записуємо _P | i називаємо таке слово  теоремою системи Поста P.

Множину Th(P)={T*| _P |} називатимемо множиною теорем системи Поста P.

Для завдання системи Поста достатньо вказати множину правил та множину аксiом. У випадку необхiдностi вказуємо i алфавiт T.

Множина XT* породжувана за Постом, якщо iснують алфавiт T’T та система Поста P=(T’, A, P) такi, що Th(P)(T*)=X.

Обчислюванiсть функцiй за Постом  це породжуванiсть за Постом графiкiв таких функцiй.

Часткова функцiя f : N^k→N обчислювана за Постом, якщо породжуваною за Постом є множина {  (x₁,...,x_k)D_f }.

34. Обчислюваність квазіарних функцій на n. Квазіарні чрф. Алгебри кчрф та фінарних чрф. Операторні терми (от).

Основними обчислюваними операцiями для випадку еквітонних V-квазиарних функцій на множині N є параметричні операцiї суперпозицiї S , примiтивної рекурсiї R_y,z та мiнiмiзацiї M_y .

(n+1)-арна композиція суперпозиції _S з параметрами v₁,...,v_nV кожним V-квазіарним функціям f, g₁, ..., g_n ставить у відповідність V-квазіарну функцію, яку позначимо S (f, g₁,...,g_n), значення якої для кожного d^VА обчислюється так:

S (f, g₁,..., g_n)(d) = f(d [v₁g₁(d),...,v_ng_n(d)]).

Операцiя примiтивної рекурсiї R_y,z з параметрами у, z двом V-квазиарним функцiям g та h ставить у вiдповiднiсть V-квазиарну функцiю f, яку позначають R_y,z (g, h).

Для кожного d^VN значення f(d) визначається таким чином:

при уіт(d) значення f(d) невизначене;

при уіт(d) значення f(d) визначається рекурсивною схемою

f(dу0) = g(dу0z0);

f(dуа+1) = h(dуаzf(dуа)) для всіх a<d(y).

Це означає, що для всiх d^VN таких, що уіт(d) та d(y)=b, значення f(d) обчислюється так:

f(dу0) = g(dу0z0);

f(dу1) = h(dу0zf(dу0))

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

f(d) = f(dуb) = h(dуb-1zf(dуb-1)).

Операцiя мiнiмiзацiї M_y з параметром у V-квазиарній функцiї g ставить у вiдповiднiсть V-квазиарну функцiю f, яку позначають M_y(g). Для кожного d^VN значення f(d) визначається як перше аN таке, що g(dуa)=0 і для всiх k<а значення g(dуk) визначене та 0. Якщо таке aN не iснує, то f(d).

Це означає, що кожного d^VN значення f(d) обчислюється так. Послiдовно обчислюємо значення g(dуk) для k=0, 1, 2, ... Перше таке аN, що g(dуa)=0, буде шуканим значенням f(d). При цьому для всiх k<а значення g(dуk) визначені та 0.

Процес обчислення значення M_y(g)(d) нiколи не закiнчиться в таких випадках:

значення g(dу0) невизначене;

для кожного kN значення g(dуk) визначене та 0;

для всiх k<а значення g(dуk) визначене та 0, а значення g(dуa) невизначене.

Базовими функцiями для випадку V-квазиарних функцiй, заданих на множинi N, вважатимемо функцiї о, s_х та функцiї розіменування ‘v. Вказані функції визначаються так:

о(d)=0 для всіх d^VN ;

‘v(d)=d(v)=

s_х(d)= d(х)+1 =

Функцiю, яку можна отримати iз базових функцiй о, s_х ‘v за допомогою скiнченної кiлькостi застосувань операцiй S , R_y,z та M_y , назвемо V-квазиарною частково рекурсивною функцiєю (скорочено V-КЧРФ).

Функцiю, яку можна отримати iз фінарних функцiй о, s_х ‘v за допомогою скiнченної кiлькостi застосувань операцiй S , R_y,z та M_y , назвемо V-фінарною частково рекурсивною функцiєю (скорочено V-ФЧРФ).

Із наведених визначень випливають наступні твердження:

1. Функцiя R_y,z (g, h) алгоритмiчно обчислювана відносно функцій g, h та відносно скінченноіменних операцій врізки на ^VN і відносно V-ІМ над N як функцій .

2. Функцiя R_y,z (g, h) алгоритмiчно обчислювана відносно V-фінарних функцій g та h.

3. Функцiя М_y(g) алгоритмiчно обчислювана відносно функції g та відносно скінченноіменних операцій врізки на ^VN і відносно V-ІМ над N як функцій .

4. Функцiя М_y(g) алгоритмiчно обчислювана відносно V-фінарної функції g.

5. Операції R_y,z та M_y зберігають еквітонність V-квазиарних функцій, завданих на множинi N.

6. Кожна V-КЧРФ алгоритмiчно обчислювана відносно скінченно-іменних операцій врізки на ^VN та відносно V-ІМ над N як функцій.

7. Кожна V-ФЧРФ алгоритмiчно обчислювана.

8. Кожна V-КЧРФ еквітонна.

Алгебру (q; R_y,z , M_y , S ), носiєм q якої є клас всiх V-КЧРФ, а операцiями  операцiї S , R_y,z та M_y , назвемо алгеброю V-КЧРФ.

Алгебру (f ; R_y,z , M_y , S ), носiєм f якої є клас всiх V-ФЧРФ, а операцiями  операцiї S , R_y,z та M_y , назвемо алгеброю V-ФЧРФ.

Введемо поняття операторного терма (скорочено ОТ) алгебри V-КЧРФ. Алфавiт складатиметься iз символiв базових функцiй о, s_х та ‘v, символiв операцiй R_y,z M_y та S , а також допомiжних символiв (, ) та , . Дамо iндуктивне визначення ОТ алгебри V-КЧРФ:

1) кожен символ базової функцiї є ОТ; такі ОТ назвемо атомарними;

2) якщо t₀, t₁, ..., t_n ОТ, то S (t₀, t₁, ..., t_n)  ОТ;

3) якщо t₀ та t₁  ОТ, то R_y,z (t₀, t₁)  ОТ;

4) якщо t ОТ, то M_y (t)  ОТ.

Інтерпретуючи символи на множині q природним чином, маємо: кожна V-КЧРФ є значенням деякого ОТ алгебри V-КЧРФ.

При інтерпретації символів на множині f дістаємо, що кожна V-ФЧРФ є значенням деякого ОТ алгебри V-КЧРФ.

Якщо функцiя f є значенням ОТ , то кажуть, що   операторний терм функцiї f, або що f задана операторним термом .

Зауважимо, що завдання V-КЧРФ та V-ФЧРФ операторними термами не є однозначним. Наприклад, операторнi терми о, S^х(о, s_х), S^х(о, о) та S^х,у(о, о, s) задають одну i ту ж функцiю о.