50.Арифметичність чрф, рпм, чрп. Теорема Тарського.

При iнтерпретацiї арифметичних формул на стандартній моделі N =(N, _ar) іменами натуральних чисел можуть бути замкненi терми 0, 1, 1+1, ..., 1+...+1, ... Таке iм’я натурального числа п будемо позначати . Зрозуміло, що ці імена можна визначити так: =0, =1, = +1 для п1.

Використовуючи введені імена, можна визначити виразимість на N предикатів, множин та функцій, використовуючи тільки замкнені арифметичні формули. Зокрема, для п-арних арифметичних функцій та предикатів і для арифметичних множин вигляду LN^k можна дати класичні [10] визначення. Неважко довести, що такі визначення цілком узгоджені з наведеними в розділі 4.4 визначеннями виразимих в АС предикатів, множин та функцій.

Предикат Р : N^k→{T, F} арифметичний, якщо iснує арифметична формула (x₁,..., x_k) з вільними іменами x₁, ..., x_k така: Р(п₁,..., п_k)=Т  N  [ ,..., ]. Така формула  виражає предикат Р.

Множина LN^k арифметична (скорочено АМ), якщо iснує арифметична формула (x₁, ..., x_k) з вільними іменами x₁, .., x_k така: ( ,..., )L  N  [ ,..., ]. Така  виражає множину L.

Класи арифметичних множин i предикатів позначаємо AМ і AП.

Функцiя f : N^k→N арифметична, якщо її графiк _f є арифме-тичною множиною. Арифметична формула  виражає функцiю f, якщо формула  виражає _f.

Кожна ЧРФ отримується iз функцiй о, s, I , +,  за допомогою операцiй Sⁿ⁺¹ та M. Функцiї о, s, I , +,  арифметичнi, операцiї Sⁿ⁺¹ та M зберiгають арифметичнiсть функцiй. Отже, кожна ЧРФ арифметична.

Нехай LN^k є РПМ. Тодi L=D_f для деякої ЧРФ f. Але f арифметична, нехай вона виражається арифметичною формулою (x₁, ..., x_п, z). Тодi D_f виражається арифметичною формулою z. Отже, кожна РПМ арифметична.

Тeорeма 10.1.1. Множина T продуктивна.

Звідси множина T не є РПМ. Більше того:

Тeорeма 10.1.2 (Тарський). Множина T неарифметична.

Це означає, що не iснує "унiверсальної" ІАФ, яка дозволяла б отримувати довiльну ІАФ за її номером.

Фундаментальне значення теореми Тарського полягає в тому, що вона доводить неможливiсть повної формалiзацiї поняття iстини в достатньо багатих мовах, якi включають або можуть моделювати мову арифметики.

51.Арифметична ієрархія. Алгоритм Тарського- Куратовського.

Розглянемо класифікацію арифметичних множин та предикатів, яка зв'язує теорію рекурсивних функцій з математичною логікою.

_n -префіксом назвемо послідовність кванторних префіксів із п1 зміною однотипних кванторів, який починається квантором .

_n -префіксом назвемо послідовність кванторних префіксів із п1 зміною однотипних кванторів, який починається квантором .

Наприклад, xyuvwtz  ₃-префікс; uz  ₁-префікс; xyz  ₂-префікс; xyuv  ₂-префікс; xyu  ₁-префікс.

Нехай   множина арифметичних формул, значеннями яких є рекурсивні предикати. Для всіх п0 введемо класи предикатів _n , _n та _n . Покладемо ₀ = ₀ = ₀ = множина всіх РП. Для п1 : _n складається з всіх предикатів, виразимих формулами вигляду , де _n та ; _n складається з всіх предикатів, виразимих формулами вигляду , де _n та ; _n = _n_n .

Відомо [17, 23], що для п1 маємо :

 Р _n  Р=()_N для деяких _n та атомарної формули ;

 Р _n  Р=()_N для деяких _n та атомарної формули .

Введені класи предикатів _n , _n та _n індукують відповідні класи множин:

_n ={I_P | Р _n }; _n ={I_P | Р _n }; _n = _n_n .

Зрозуміло, що ₀ = ₀ = ₀ = множина всіх РМ, ₁  це множина всіх РПМ, , ₁  це множина доповнень до всіх РПМ. В силу теореми Поста ₁ = ₁₁  це множина всіх РМ. Отже, ₁ = ₀

Теорема 10.2.1. Р _n  Р _n .

Теорема 10.2.2. _n_n  _n+1 .

Теорема 10.2.3. = = AП.

Теорема 10.2.4 (теорема Кліні про ієрархію). Для кожного п>0 існує арифметичний предикат  такий, що _n\_n та _n\_n .

Твердження теорем 10.2.1  10.2.4 повністю переносяться на відповідні класи арифметичних множин. Крім того, має місце

Теорема 10.2.5 (сильна теорема про ієрархію). Для кожного п0 М_n+1  М є ^(п)-РПМ та М_n+1  М є ^(п)-РМ.

Наслідок. М_n  М ₁ ^(п) та М_n  ₁^(п).

Позначимо ^Т_п та ^Т_п множини номерів ІАФ, що відповідно мають пренексну форму з _n-префіксом та _n-префіксом.

Теорема 10.2.6. ^Т_п ₁ ^(п).

Наслідок. ^Т_п 0^(п) та ^Т_п 0^(п).

Bстановлення належності множини до класів _n чи _n, тобто визначення її місця в арифметичній ієрархії, можна здійснити алгоритмом Тарського-Куратовського [9]. Суть алгоритму: використовуючи пренексні операції, подаємо предикат "xM" у вигляді ()_N , після чого встановлюємо _n чи _n для деякого п>0.