Двухфакторный дисперсионный анализ
При исследовании зависимости средней оценки по математической статистике в группе от метода обучения ( -традиционный классический , -компьютерный , -комбинированный ), будущей специальности ( -«Менеджмент организаций», -«Социология») и их взаимодействия было выделено слцчайным образом 18 групп ,которые приписывались в равных количествах шести комбинациям методов и специальностей . Знания оценивались тестом , состоящим из 120 вопросов . Сведения о среднем числе правильных ответов в группе приведены в Табл.3.
-
65
60
65
62
60
59
62
63
60
58
58
58
55
54
53
51
52
50
Табл.3.
Пункт 1. Детерминированная модель двухфакторного дисперсионного анализа ( с повторениями ) средней оценки по математической статистике в группе имеет следующий вид :
, где , - неслучайные эффекты влияния на наблюдение уровней и факторов А и В и взаимодействия этих уровней , - случайный эффект влияния прочих неконтролируемых факторов .
К этой модели предъявляются следующие требования :
Все случайных величин или ,иначе, все 18 наблюдений должны быть независимыми;
,итли ,иначе, ,то есть при каждой комбинации уровней факторов наблюдения должны проводиться в одинаковых («нормальных»)вероятностных условиях с дисперсией , не изменяющейся при переходе от одной комбинации уровней факторов к другой
, , , .
Пункт 2.
Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИТОГИ |
|
|
Итого |
|
|
|
А(1) |
|
|
|
|
|
|
Счет |
3 |
3 |
6 |
|
|
|
Сумма |
190 |
181 |
371 |
|
|
|
Среднее |
63,33333333 |
60,33333333 |
61,83333333 |
|
|
|
Дисперсия |
8,333333333 |
2,333333333 |
6,966666667 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А(2) |
|
|
|
|
|
|
Счет |
3 |
3 |
6 |
|
|
|
Сумма |
185 |
174 |
359 |
|
|
|
Среднее |
61,66666667 |
58 |
59,83333333 |
|
|
|
Дисперсия |
2,333333333 |
0 |
4,966666667 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А(3) |
|
|
|
|
|
|
Счет |
3 |
3 |
6 |
|
|
|
Сумма |
162 |
153 |
315 |
|
|
|
Среднее |
54 |
51 |
52,5 |
|
|
|
Дисперсия |
1 |
1 |
3,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итого |
|
|
|
|
|
|
Счет |
9 |
9 |
|
|
||
Сумма |
537 |
508 |
|
|
||
Среднее |
59,66666667 |
56,44444444 |
|
|
|
|
Дисперсия |
21,5 |
18,52777778 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
Источник вариации |
|
|
|
|
-Значение |
критическое |
Выборка |
289,7777778 |
2 |
144,8888889 |
57,95555556 |
6,8177E-07 |
3,885293835 |
Столбцы |
46,72222222 |
1 |
46,72222222 |
18,68888889 |
0,000990745 |
4,747225347 |
Взаимодействие |
0,444444444 |
2 |
0,222222222 |
0,088888889 |
0,915543973 |
3,885293835 |
Внутри |
30 |
12 |
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итого |
366,9444444 |
17 |
|
|
|
|
Рис.3. Результаты работы программы «Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями»
Таблица «Дисперсионный анализ», полученная в результате работы программы ,представляет собой дисперсионную таблицу . В этой таблице «Выборка» -это фактор А, «Столбцы» -это фактор В , «Взаимодействие» -это взаимодействие факторов А и В , «Внутри» -это неконтролируемые факторы , «SS»-сумма квадратов , «df»-число степеней свободы , «MS»-средняя сумма квадратов , равная отношения SS к df , «F»-числовое значение статистики F , соответствующей проверяемой гипотезе , «Р-значение»-это рассчитанный уровень значимости , «F-критическое»-100%-ная критическая точка распределения Фишера-Снедекора с соответствующими числами степеней свободы .
Расшифруем отдельные ячейки дисперсионной таблицы . В этой таблице
, в условиях задачи .
Источник вариации величины |
Показатель вариации |
Число степеней свободы ( ) |
Оценка дисперсии |
Фактор (выборка) |
|
|
|
Фактора (столбцы) |
|
|
|
Взаимодействие факторов и |
|
( )( )=2 |
|
Остаточные факторы (внутри ) |
|
|
|
Общая вариация |
|
|
|
Проверим на 5%-ном уровне значимости гипотезу об отсутствии влияния на среднюю оценку Y фактора А – метода обучения .Наблюдаемое значение статистики 57,9555555555556. Если гипотеза имеет распределение Фишера –Снедекора с и степенями свободы .Так как , то есть (6,82 , то мы отвергаем гипотезу Также мы можем подтвердить это и другим способом :Гипотеза , то есть 57,9555555555556 3,885. Аналогичным образом отвергаются гипотезы (об отсутствии влияния на среднюю оценку Y по математической статистике фактора В-будущей специальности)и ( об отсутствии влияния на среднюю оценку Y взаимодействия метода обучения и будущей
специальности ).Таким образом метод обучения ,будущая специальность и их взаимодействие влияют на среднюю оценку по математической статистике в группе .Оценим силу этого влияния ,вычислив соответствующие коэффициенты детерминации.