Переведення чисел з однієї системи числення в іншу

Найбільш часто зустрічається системи числення, – це двійкова, шістнадцятирічна і десяткова. Як же пов'язані між собою представлення числа в різних системах числення? Розглянемо різні способи переведення чисел з однієї системи числення в іншу на конкретних прикладах.

Хай потрібно перевести число 567 з десяткової у двійкову систему. Спочатку визначимо максимальну степінь двійки, таку, аби два в цій ступені було менше або рівне вихідному числу. У нашому випадку це 9, оскільки 2⁹=512, а 2¹⁰=1024, що більше початкового числа. Таким чином, ми отримаємо кількість розрядів результату. Воно дорівнює 9+1=10. Тому результат матиме вигляд 1ххххххххх, де замість х можуть стояти будь-які двійкові цифри. Знайдемо другу цифру результату. Піднесемо двійку до ступеня 9 і віднімемо з вихідного числа: 567-2⁹=55. Залишок порівнянний з числом 2⁸=256. Оскільки 55 менше 256, то дев'ятий розряд буде нулем, тобто результат набере вигляду 10хххххххх. Розглянемо восьмий розряд. Оскільки 2⁷=128>55, то й він буде нульовим.

Сьомий розряд також становиться нульовим. Шуканий двійковий запис числа набуває вигляду 1000хххххх. 2⁵=32<55, тому шостий розряд дорівнює 1 (результат 10001ххххх). Для залишку 55-32=23 справедлива нерівність 2⁴=16<23, що означає рівність одиниці п'ятого розряду. Діючи аналогічно, отримуємо в результаті число 1000110111. Ми розклали дане число по ступенях двійки:

567=1*2⁹+0*2⁸+0*2⁷+0*2⁶+1*2⁵+1*2⁴+0*2³+1*2² +1*2¹+1*2⁰

При іншому способі переведення чисел використовується операція ділення в стовпчик. Розглянемо те ж саме число 567. Розділивши його на 2, отримаємо частку 283 і залишок 1. Проведемо ту ж саму операцію з числом 283. Отримаємо частку 141, залишок 1. Знову ділимо отриману частку на 2, і так до тих пір, поки частка не стане менша дільника. Тепер для того, щоб отримати число в двійковій системі числення, досить записати останню частку, тобто 1, і приписати до нього в зворотному порядку всі отримані в процесі ділення залишки.

Результат, природно, не змінився: 567 в двійковій системі числення записується як 1000110111.

Ці два способи застосовуються при переведенні числа з десяткової системи в систему з будь-якою основою. Для закріплення навиків розглянемо переведення числа 567 в систему числення з основою 16.

Спочатку здійснимо розкладання даного числа по степенях основи. Шукане число складатиметься з трьох цифр, оскільки

16²=256 < 567 < 16³=4096.

Визначимо цифру старшого розряду.

2*16²=512<567<3*16²=768,

отже шукане число має вигляд 2хх, де замість х можуть стояти будь-які шістнадцятирічні цифри. Залишається розподілити по наступних розрядах число 55 (567-512).

3*16=48<55<4*16=64,

означає в другому розряді знаходиться цифра 3. Остання цифра дорівнює 7 (55-48). Шукане шістнадцятирічне число дорівнює 237.

Другий спосіб полягає у виконанні послідовного ділення в стовпчик, з єдиною відмінністю в тому, що ділити треба не на 2, а на 16, і процес ділення закінчується, коли частка стає строго меншою 16.

Звичайно, не треба забувати і про те, що для запису числа в шістнадцятирічній системі числення, необхідно замінити 10 на A, 11 на B і так далі.

Операція переведення в десяткову систему виглядає набагато простішою, оскільки будь-яке десяткове число можна представити у вигляді

x = a₀*pⁿ + a₁*p^n-1 + ... + a_n-1*p¹ + a_n*p⁰,

де a₀ ... a_n – це цифри даного числа в системі числення з основою р.

Приклад. Переведемо число 4A3F в десяткову систему. За визначенням, 4A3F= 4*16³+A*16²+3*16+F. Замінивши A на 10, а F на 15, отримаємо 4*16³+10*16²+3*16+15= 19007.

Мабуть, найпростіше здійснюється переклад чисел з двійкової системи в системи з основою, рівною степеням двійки (8 і 16), і навпаки. Для того, щоб ціле двійкове число записати в системі числення з основою 2ⁿ, потрібно

• дане двійкове число розбити справа наліво на групи по n-цифр у кожній;

• якщо в останній лівій групі виявиться менше за n розрядів, то доповнити її нулями до потрібної кількості розрядів;

• розглянути кожну групу, як n-розрядне двійкове число, і замінити її відповідною цифрою в системі числення з основою 2ⁿ.

Двійково-шістнадцятирічна таблиця

2-ва	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111
16-на	0	1	2	3	4	5	6	7
2-ва	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
16-на	8	9	A	B	C	D	E	F

Двійково-восьмерична таблиця

2-ва	000	001	010	011	100	101	110	111
8-на	0	1	2	3	4	5	6	7

Завдання

1. Переведіть в десяткову систему числення:

а) 10001110₂; б) 12345₈; в) AA02D34B₁₆.

2. Порівняйте два числа:

а) 1026₈ та 216₁₆; б) 11111₂ та 11111₃.