Двойственная задача и экономическая интерпретация переменных двойственной задачи

Составим математическую модель двойственной задачи: минимизировать Z = 180y₁ + 210y₂ + 800y₃ при ограничениях

При решении задачи «вручную» симплексным методом надо перейти к канонической форме, добавляя в каждое ограничение неотрицательную дополнительную переменную.

Запишем канонические формы прямой и двойственной задач в табл. 11.

Таблица 11

Прямая задача	Двойственная задача
Максимизировать при ограничениях	Минимизировать при ограничениях

В канонической форме прямой задачи переменные х₁, х₂, х₃, х₄ являются основными, а переменные х₅, х₆, х₇ – дополнительными. В канонической форме двойственной задачи основными переменными являются у₁, у₂, у₃, а перемен-ные у₄, у₅, у₆, у₇ – дополнительными.

Между переменными прямой и двойственной задачами существует взаимно-однозначное соответствие, которое представлено в табл. 12.

Таблица 12

	Основные переменные	Дополнительные переменные
Прямая задача	х1, х2, х3, х4	х5, х6, х7
Двойственная задача	у4, у5, у6, у7	у1, у2, у3
	Дополнительные переменные	Основные переменные

Учитывая это соответствие, выпишем из последней строки симплекс-таблицы, содержащей оптимальное решение прямой задачи (табл. 10), координаты искомого вектора двойственной задачи Y^*=(0; 3/2; 9/4; 0; 0; 1/2; 5).

При этом оптимальном плане первое ограничение прямой задачи выполняется как строгое неравенство: 95 + 2∙0 + 0 = 95 < 180. Это означает, что расход ресурса Р₁ меньше его запаса на величину, равную 85, то есть ресурс Р₁ – избыточный. Именно поэтому, в оптимальном плане Y^*  двойственная оценка этого ресурса y₁^* равна 0. А оценки ресурсов Р₂ и Р₃ выражаются положительными числами у₂^* = 3/2, у₃^* = 9/4, это свидетельствует о дефицитности этих ресурсов, они при оптимальном плане прямой задачи используются полностью (х₆^* = 0; х₇^* = 0).

Действительно, ограничения по этим ресурсам в прямой задаче выполняются как строгие равенства:

210 + 3∙0 + 2∙0 = 210,

4∙95 +2∙210 + 4∙0  = 800.

Поскольку 9/4 > 3/2, ресурс Р₃ считается более дефицитным, чем ресурс Р₂.

Экономическая интерпретация ограничений двойственной задачи

Для интерпретации ограничений двойственной задачи используем часть теоремы о равновесии:

.

Величина представляет суммарную стоимость ресурсов, используемых на производство единицы продукции j-го вида.

Величина , равная коэффициенту при переменной x_j в последней строке симплекс табл. 10, определяющей оптимальное решение прямой задачи, называется приведенной стоимостью (приведенными издержками) j-го вида продукции.

Подставим значения в двойственную задачу:

п олучим:

На основании теоремы равновесия нетрудно понять почему не вошла в оптимальный план продукция вида С и D: третье и четвертое ограничение двойственной задачи выполняются как строгие неравенства. Это означает, что оценки ресурсов, расходуемых на изготовление единицы продукции вида С и D превышают цену единицы этой продукции на величину 0,5 и 5 соответственно. Продукцию вида С и D предприятию не выгодно выпускать.

Первое и второе ограничение двойственной задачи обращаются в точное равенство, то есть оценка израсходованных ресурсов для производства продукции вида А и В совпадает с ценой произведенной продукции.

Таким образом, в оптимальный план войдет только та продукция, которая выгодна предприятию и не войдет убыточная продукция. В этом проявляется рентабельность оптимального плана.