II Доводиться аналогічно.

Теорема про існування границі монотонної функції.

I. 1) Якщо визначена на множині і там зростає навіть у широкому розумінні, і обмежена зверху. Точка —точка скупчення множини , така що всі , ,то існує скінчена ,

2)Якщо функція необмежена але зростаюча, то .

II. 1) Якщо спадна навіть в широкому розумінні і обмежена знизу, точка —точка скупчення множини , така що всі , , то існує скінчена .

2)Якщо функція не обмежена знизу і спадна, то .

Доведення.

I. 1) обмежена зверху і зростаюча, точка —точка скупчення, де всі . Нехай . Розглянемо всю множину значень функції, коли Ця множина обмежена зверху, тому , таке що . Якщо множина обмежена зверху, то вона має точну верхню грань, , . З означення верхньої межі маємо . Візьмемо і розглянемо , то знайдеться де , які В силу того, що , ми маємо, що , як тільки . Це і доводить, що є границею.

2) не обмежена зверху, це означає, що яке б ми (як завгодно велике) не взяли, то знайдеться , що таких, що виконується в силу

II. Доводиться аналогічно.

8. Існування границі для монотонних послідовностей та функцій.

Критерій існування границі для послідовностей (критерій Больцано-Коші).

Для того щоб послідовність мала , необхідно і досить, щоб (як завгодно малого) знайшовся номер , такий що і , виконувалась нерівність (1)

Доведення

Дано, що завжди існує номер , і , . Доведемо, що , . Виберемо . Маємо нерівність (1) . Розкриємо її . Зафіксуємо . Ззовні інтервалу могло залишитися хіба що членів послідовності. Це зокрема . Виберемо і . Тоді тобто послідовність обмежена. Тоді за теоремою Вейєрштраса із обмеженої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність . . Покажемо, що . у нас виконується (1). Можна взяти . Тоді , що має місце (2). І розглянемо (3). має границею число , це означає, що номер , що виконується (4). Якщо , то . Знайдемо . Якщо то виконується (4) і (2), тому виконується і (3). , тому (3) має такий вигляд . Ми одержали: , що . А це означає, що . Отже

Критерій збіжності для функцій (принцип Больцано-Коші).

Для того щоб існувала скінчена границя необхідно і досить щоб знайшлося , таке що як тільки і , то (1),

Доведення. Точка скупчення .

Необхідність. Нехай існує скінчена границя (2), . Потрібно довести, що з (2) слідує (1). Сформулюємо означення границі на мові : , (3). Розглянемо таке, що задовольняє (3), (4). Розглянемо + . В силу (4) як тільки виконується (3) маємо, що . знайдеться ,

Достатність. Виконується (1). (3).

у випадку . Треба довести, що існує

Якщо то . Якщо то Але ми знаємо, що означення границі на мові еквівалентне означення на мові послідовностей.

Достатність випливає із критерію Больцано-Коші для послідовностей.

9. Неперервність функції в точці. Точки розриву. Неперервність елементарних функцій.

Нехай функція визначена на множині і точка — точка скупчення , , тобто визначена функція в цій точці

Озн1. Якщо , то називається неперервною в точці

Озн2. (на мові . (як завгодно малого) (як завгодно мале) таке, що , то функція називається неперервною в точці

Озн3. Яку б ми послідовність не взяли таку, що , що послідовність значення функції , то називається неперервною в точці .

Озн4 (на мові приростів). — приріст функції в точці . Якщо приріст аргумента нескінченно малий, то і приріст функції нескінченно малий. Тому функція неперервна в точці якщо як завгодно малому приросту аргумента в т. відповідає як завгодно малий приріст функції в точці

Озн5. Нехай функція визначена в області , точка —точка скупчення, . Якщо і то називається неперервною в точці .

Якщо функція не є неперервною в точці , то її називають розривною в точці .

Озн6. Якщо неперервна в кожній точці , то говорять, що неперервна в

Розриви.

Якщо , якщо то такий розрив називається усувним.

Функція в точці має розрив I-го роду або стрибок якщо і

Якщо в точці функція невизначена, або хоча б одна з односторонніх границь не існує, чи дорівнює , то говорять, що в точці існує розрив II-го роду.

Приклади.

1) Якщо ми візьмемо і нескінченно малі, то неперервна в кожній точці.

2) Добуток скінченої кількості неперервних функцій неперервна функція.

3) В області функція неперервна в кожній точці.

неперервна завжди, приріст значення функції малий.

4) . Треба показати, що Розглянемо .

. Маємо

5) Якщо , функція неперервна як частка неперервних функцій.

6) Розглянемо , тому , як тільки . Якщо прологарифмуємо. , якщо . Так, що Для треба розглядати . Звідси виходить, що функція неперервна функція для всіх