1.5 Рівняння, нерозв’язані відносно похідної.

Основні поняття, задача Коші.

(1) , де точка , функція неперервна в

Означення. Функція визначена на відрізку називається розв’язком рівняння (1) якщо :

1)функція диференційована ; 2) точка

3)

Для рівняння (2) — умова Коші. Умова (2) для однозначного визначення Будь-якого розв’язку рівняння (1) не достатньо. Тому потрібно додати ще одну умову (3).

Отже задача Коші має вигляд (1), (2), (3). Будемо говорити, що розв’язок задачі Коші (1)-(3) єдиний, якщо через кожну точку в досить малому її околі проходить стільки інтегральних кривих, скільки напрямків поля визначає рівняння (1) в цій точці.

Теорема. Нехай функція задовольняє такі три умови:

1) вона визначена і наперервно-диференційовна разом з своїми частинними похідними в деякому замкненому околі точки ; 2) 3)

Тоді рівняння (1) має єдиний розв’язок , який визначений і неперервно-диференційовний в деякому околі точки , причому цей розв’язок задовольняє умови (2), (3)

Доведення. Використаємо теорему про існування неперервної функції кількох змінних. Одержимо, що рівняння (1) при зроблених припущеннях однозначно визначає як функцію від , тобто , причому вона буде задана і неперервно-диференційовна в деякому заданому околі точки . Використаємо до рівняння теорему Пікара-Коші , одержимо, що воно моє єдиний розв’язок , який задовольняє початкову умову (2) і є визначеним і неперервно-диференційовним в деякому околі точки . Оскільки в точці дорівнює . Отже знайдений розв’язок є шуканим розв’язком рівняння (1), причому він задовольняє умови (2), (3).

Рівняння степеня n.

(1) —це рівняння 1-го порядку -го степеня. , де неперервні в Якщо функція точок то рівняння (1) згідно з основною теоремою алгебри визначає значень Відкидаючи комплексні значення одержимо дифрівнянь 1-го порядку розв’язним відносно похідної. (2).

Нехай в кожній точці напрями поля, які визначаються кожним з рівнянь (2) різні, тобто інтегральні криві різних рівнянь з (2) не можуть дотикатися одна одної в середині області Тоді сукупність загальних розв’язків або загальних інтегралів визначають загальний інтеграл рівняння (1), який можна записати у вигляді

або Якщо поля, які визначаються рівняннями (2) не задовольняють зробленому вище припущенню то існує хоча б одна точка , в якій інтегральні криві дотикаються.

Неповні рівняння.

(6) . Нехай рівняння (6) визначає скінченне і злічене число дійсних розв’язків . Підставимо (8) в (6), маємо — загальний інтеграл рівняння (6).

Рівняння, які явно не містять

(9).

1. Нехай рівняння (9) розв’язується відносно , тобто (10). Сукупність загальних розв’язків . Рівняння (10) визначає загальний інтеграл рівняння (9).

II Якщо (9) не розв’язується в елементарних функціях відносно , то можливе знаходження ЗР рівняння (9) в параметричній формі, тобто нехай . Ці функції такі, що — ЗР

Рівняння, які не містять незалежної змінної.

(11)

I. (12). Рівняння розв’язується відносно похідної. . Сукупність загальних інтегралів рівняння (12) становлять загальний інтеграл рівняння (11). Можливі особливі розв’язки

II не знаходиться з (11), то можлива параметризація рівняння (11), тобто це такі функції, що , Отже ЗР рівняння (11) визначається формулою ю

Узагальнено однорідні рівняння.

(1). Рівняння (1) називається узагальнено-однорідним, якщо функція є однорідною виміру за умови, що є однорідними вимірів відповідно. Тобто

(13) Зробимо заміну де — нова шукана функція. . Підставимо в (1), маємо Використовуючи (13) одержимо .

.— рівняння без незалежної змінної Нехай — загальний інтеграл цього рівняння. Тоді загальний інтеграл узагальнено-однорідного рівняння (1)

2.1 Диф.р-ння вищих порядків, які допускають зниження порядку.

Рів-ня, яке містить тільки незалежну змінну і n-ну похідну шуканої функції.

Зведення до квадратур р-ня (1) проводиться або за допомогою спеціальних прийомів, або за допомогою зниження порядку диф-ного р-ня.

(1). Нехай р-ня (1) має вигляд (2). Можливі випадки:

А) (3), ф-ція - непер. ф-ція на . Інтегруємо обидві частини

; (4)

Формула (4) містить в собі всі розв’язки р-ня (3) і є загальним розв. Вона дозволяє знайти будь-які задачі Коші для р-ня (3), тобто розв. Р-ня (3), який задовольняє умови (5). (3), (5) – задача Коші. Справді підставимо (4) в (5)

(з 1 умови) (з 2 умови) . . . . (з n умови)

Таким чином формула (4) набуде вигляду:

(6)-розв. задачі Коші.

Якщо на дивитися як на довільні сталі, то формула (6) визначає загальний розв. р-ня (3) у формі Коші. Розглянемо перший доданок з формули (6)

- це частинний розв. р-ня (3), бо одержується з загального при і ф-цію можна представити інакше не через квадратур, а через одну, а саме правильною є формула Коші . Розв. р-ня (3) можна виконати, використовуючи невизначені інтеграли замість визначених

Б) Р-ня (3) не розв’язується відносно похідна, або вираз для неї є надто складним. Нехай існують такі ф-ції і , що

Загальний розв. в параметричній формі . Параметричний розв. відбувається легко, коли р-ня (3) розв’язане відносно

. Зокрема, якщо

Р-ня, яке містить незалежну змінну і похідні шуканої ф-ції без декількох перших послідовних похідних.

(7). Зробимо заміну . вдалося понизити р-ня на одиниць. Нехай -загальний розв. цього р-ня. Підставляючи будемо мати . Отримали р-ня вигляду (попереднє р-ня). Його розв’язання додасть ще сталих і загальний розв. одержиться у вигляді . Розглянемо 2 часткові випадки р-ня (7).

А). (8). Нехай р-ня (8) розв’язане відносно старшої похідної, тоді . Нехай - загальний розв. .Отримали р-ня вигляду (3). Якщо р-ня (8) не можна розв. відносно старшої похідної, то спробуємо параметризувати його . Звідси . як ф-цію від легко виразити з р-ня . Таким чином отримаємозагальний розв. в параметричній формі.

Б) (9). . Якщо р-ня (9) розв’язане відносно -ої похідної, тобто , то після заміни одержимо р-ня 2-го порядку

/ . Отримали р-ня вигляду (3). Його інтегрування приведе ще до появи довільних сталих. Якщо р-ня (9) не розв. відносно -похідної, але допускає параметризацію, то . Запишемо 2 рівності . Першу рівність помножимо на -похідну. Будемо мати

. Знайшли вираз ф-ції . Далі знаходимо і анологічно пункту А.

Р-ня, яке не містить незалежної змінної.

. Зробимо заміну і будемо вважати ф-цією від . Знайдемо інші похідні . -р-ня порядку. Нехай - загальний розв. попереднього р-ня. - р-ня першого порядку, з’являється .

Р-ня, однорідні відносно шуканої ф-ції та її похідних.

(1) (2). Зробимо заміну .Тоді .Підставляємо ці похідні в (1). .Викор. однорідність ф-ції з рівності (2) і поділивши на одержуємо . Отримали р-ня порядку. Нехай -загальний розв. останнього р-ня.

. - якщо є розв. даного р-ня, то цей розв. частинний, бо отримаємо з загального при .

Узагальнено-однорідні р-ня.

Так називають р-ня вигляду (1), якщо ф-ція є однорідною за умови, що змінні є однорідні виміру відповідно. Заміна ,

, )=0.Викор. узагальнену однорідність ф-ції запишемо і поділивши на отримаємо -р-ня -го порядку, яке не містить незалежної змінної .

Р-ня, ліва частина яких є точною похідною.

Так називають р-ня вигляду (1), якщо . Тоді підставивши в (1) будемо мати , назив першим інтегралом. В деяких випадках р-ня (1) міститиме в лівій чвстині точну похідну від деякої ф-ції після домноження на деяку ф-цію , яка назив. інтегрувальним множником.