СЕВАСТОПОЛЬСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЯДЕРНОЙ

ЭНЕРГИИ И ПРОМЫШЛЕННОСТИ

ЗАДАНИЯ

для оценки уровня теоретических знаний и практических навыков по учебной дисциплине

«Высшая математика»

I курс II сем. 2012

Севастополь – 2012

ЗАДАНИЯ

для оценки уровня теоретических знаний и практических навыков по учебной дисциплине

«Высшая математика»

Применение производных к исследованию функций

№1. Укажите правильную формулировку теоремы Ролля:

Ответ: а) если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и значения функции на концах отрезка равны , то внутри отрезка существует хотя бы одна точка , производная в которой равна нулю ;

б) если функция непрерывна на интервале , дифференцируема на отрезке и значения функции на концах отрезка равны нулю , то внутри отрезка существует хотя бы одна точка , производная в которой равна нулю ;

в) если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и значения функции на концах отрезка равны нулю , то внутри отрезка существует единственная точка , производная в которой равна нулю ;

г) если функция непрерывна на интервале , дифференцируема на отрезке и значения функции на концах отрезка равны , то внутри отрезка существует единственная точка , производная в которой равна нулю .

№2. Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы:

Ответ: а) на графике функции найдется хотя бы одна точка, касательная в которой параллельна хорде, стягивающей концы графика функции;

б) на графике функции найдется хотя бы одна точка, касательная в которой параллельна оси ;

в) на графике функции найдется хотя бы одна точка, касательная в которой параллельна оси ;

г) на графике функции найдется хотя бы одна точка, в которой нельзя построить касательную.

№3. Укажите правильную формулировку теоремы Лагранжа:

Ответ: а) если функция непрерывна на интервале , дифференцируема на отрезке , то внутри отрезка существует единственная точка такая, что справедливо равенство ;

б) если функция непрерывна на интервале , дифференцируема на отрезке , то внутри отрезка существует хотя бы одна точка такая, что справедливо равенство ;

в) если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то внутри отрезка существует единственная точка такая, что справедливо равенство ;

г) если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то внутри отрезка существует хотя бы одна точка такая, что справедливо равенство .

№4. Укажите правильную формулировку теоремы Лопиталя для неопределенности :

Ответ: а) если функции и дифференцируемы в точке и ее окрестности, при указанных , то, если существует предел , то существует и предел ; б) если функции и непрерывны в точке и ее окрестности, при указанных , то, если существует предел , то существует и предел ; в) если функции и дифференцируемы в окрестности точки , исключая саму точку , при указанных , то, если существует предел , то существует и предел ; г) если функции и непрерывны в точке , , то, если существует предел , то существует и предел .

№5. Какое из утверждений верно?

Ответ: а) если , то ; б) правило Лопиталя справедливо для всех видов неопределённостей; в) правило Лопиталя не применимо, если ;

г) если не существует, то и не существует.

№6. Какое из равенств определяет формулу Тейлора для функции в окрестности точки ?

Ответ: а) ;

б) ;

в) ;

г) .

№7. Для того чтобы дифференцируемая функция была возрастающей в интервале достаточно, чтобы в каждой точке этого интервала:

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

№8. Продолжите формулировку теоремы Ферма: если точка есть точка экстремума дифференцируемой функции , то:

Ответ: а) производная функции в этой точке не существует; б) производная функции в этой точке равна нулю или не существует; в) производная функции в этой точке равна нулю;

г) при переходе через эту точку производная меняет знак.

№9. Критической точкой функции называется точка, в которой

Ответ: а) производная функции равна нулю или не существует; б) производная функции равна нулю; в) производная функции не существует; г) производная функции равна константе.

№10. График функции называется вогнутым на интервале, если на этом интервале:

Ответ: а) все точки графика функции за исключением точки касания, лежат выше соответствующих точек любой касательной к графику функции; б) все точки графика функции лежат выше хорды, стягивающей концы графика функции; в) все точки графика функции лежат ниже хорды, стягивающей концы графика функции; г) все точки графика функции за исключением точки касания, лежат ниже соответствующих точек любой касательной к графику функции.

№11. Уравнение наклонной асимптоты графика функции имеет вид , где

Ответ: а) , ; б) , ;

в) , ; г) , .

№12. Вычислить предел по правилу Лопиталя Ответы: а) 1/3; б) -1/3; в) 0; г) ∞.

№13. Вычислить предел по правилу Лопиталя Ответы: а) 1; б) -1; в) 0; г) ∞.

№14. Вычислить предел по правилу Лопиталя Ответы: а) ; б) ; в) 0; г) 1.

№15. Вычислить предел по правилу Лопиталя Ответы: а) -2; б) 2; в) ; г) 0.

№16. Вычислить предел по правилу Лопиталя Ответы: а) 0; б) ; в) ; г) 2.

№17. Вычислить предел по правилу Лопиталя Ответы: а) ; б)1; в) ; г) 0.

№18. Вычислить предел по правилу Лопиталя Ответы: а) ; б) ; в) ; г) 0.

№19. Вычислить предел по правилу Лопиталя

Ответы: а) 0; б) ; в) 2; г) не существует.

№20. Вычислить предел по правилу Лопиталя Ответы: а) 3; б) ; в) 0; г) .

№21. Вычислить предел по правилу Лопиталя Ответы: а) ; б) ; в) ; г) 0.

№22. Вычислить предел по правилу Лопиталя Ответы: а) ; б) ; в) 1; г) .

№23. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции .

Ответы: а) возрастает в интервалах , ; убывает в интервале ; . б) возрастает в интервалах , , убывает в интервале ; . в) возрастает в интервалах , , убывает в интервалах , ; . г) убывает в интервалах , , возрастает в интервале ; .

№24. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции

Ответы: а) убывает в интервалах , ; возрастает в интервалах , . б) возрастает в интервалах , ; убывает в интервалах , . , . в) возрастает в интервале ; убывает в интервале г) убывает в интервале ; возрастает в интервале

№25. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции

Ответы: а) возрастает в интервалах , ; убывает в интервале . б) убывает в интервалах , ; возрастает в интервале . в) возрастает в интервалах , ; убывает в интервале . г) убывает в интервале ; возрастает в интервале ; .

№26. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции

Ответы: а) убывает в интервале ; экстремумов нет.

б) возрастает в интервале , ; экстремумов нет. в) возрастает в интервале ; убывает в интервале . г) убывает в интервале ; возрастает в интервале .

№27. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции

Ответы: а) интервалы вогнутости , ; интервал выпуклости точки перегиба ; б) интервалы выпуклости , ; интервал вогнутости точки перегиба ; в) интервалы вогнутости , ; интервал выпуклости точки перегиба ; г) график выпуклый; точек перегиба нет.

№28. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции .

Ответы: а) интервалы выпуклости , ; интервал вогнутости ; точки перегиба , ; б) интервал выпуклости , интервал вогнутости ; точка перегиба ; в) интервалы вогнутости , , интервал выпуклости ; точки перегиба , ; г) интервал вогнутости , интервал выпуклости ; точка перегиба .

№29. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции .

Ответы: а) интервалы вогнутости , , интервал выпуклости ; точки перегиба , ; б) интервалы выпуклости , , интервал вогнутости ; точки перегиба , ; в) интервал выпуклости ; интервал вогнутости , ; точка перегиба ; г) интервал выпуклости ; интервал вогнутости ; точка перегиба .

№30. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции .

Ответы: а) интервал выпуклости , ; интервал вогнутости ; точки перегиба , ; б) интервал вогнутости , интервал выпуклости ; точка перегиба ; в) интервалы вогнутости , , интервалы выпуклости , ; точки перегиба , , ; г) интервалы вогнутости , , интервал выпуклости ; точки перегиба , .

№31. Найти асимптоты графика функции .

Ответы: а) , ; б) , ;

в) , не существует; г) и не существует.

№32. Найти асимптоты графика функции

Ответы: а) , ; б) , ;

в) , ; г) , .

№33. Найти асимптоты графика функции

Ответы: а) , ; б) , ;

в) , ; г) , .

№34. Найти асимптоты графика функции

Ответы: а) , ; б) не существует, правосторонняя ;

в) не существует, ; г) и не существует.