4. Абсолютная сходимость
Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл от модуля этой функции, т.е. интеграл
.
Если же интеграл сходится, а интеграл расходится, то интеграл называется сходящимся не абсолютно (условно сходящимся).
Без доказательства отметим, что из абсолютной сходимости следует сходимость интеграла .
Для установления абсолютной сходимости (и следовательно сходимости интеграла) могут использоваться признаки сравнения, доказанные выше для положительных функций.
Пример
7. Исследовать сходимость
Решение.
Очевидна такая оценка
,
а интеграл
сходится, следовательно, сходится и
данный интеграл.
§6 Несобственные интегралы от неограниченных функций
Пусть функция
непрерывна на промежутке
,
а в точке
не ограничена, т.е. имеет в этой точке
бесконечный разрыв, т.е.
(рис 1).
Определение.
Несобственным интегралом
2го рода
называется предел
.
Несобственный интеграл
называется сходящимся, если
указанный предел конечен и расходящимся
в противном случае.
Аналогично
определяется несобственный интеграл,
если
не ограничена в точке
(рис 2):
В
этом случае, когда функция претерпевает
бесконечный разрыв во внутренней точке
(рис 3а), то несобственный интеграл
определяется равенством
рис 3а
рис 3б
В том случае, когда функция
обращается в бесконечность на концах
промежутка интегрирования
,
несобственный интеграл
определяется так:
,
причём
.
При этом интеграл считается сходящимся, если сходятся оба интеграла, стоящие справа и расходящиеся, если расходится хотя бы один из этих интегралов.
Пример 1. Оценить сходимость несобственного интеграла
при различных значениях
.
Решение.
1. Пусть , тогда
,
т.е. при интеграл расходится.
2. Пусть
.
Обозначим
,
где
,
тогда
,
т.е. при интеграл расходится .
3. Пусть
,
тогда
.
Имеем
.
Следовательно при интеграл сходится.
Заметим, что в качестве эталона для
сравнения часто используется рассмотренный
интеграл
,
который сходится при
и расходится при
.
Точно так же, как и для несобственных
интегралов
го
рода формулируются и доказываются
признаки сравнения для несобственных
интегралов 2-го рода. Аналогично
определяется абсолютная сходимость и
формулируется признак абсолютной
сходимости.
Пример
2. Исследовать сходимость
.
Решение.
Очевидна такая оценка на
промежутке
:
,
.
В силу первого признака сравнения данный интеграл расходится.
Пример
3. Исследовать сходимость
интеграла
.
Решение.
Заметим, что подынтегральная
функция терпит бесконечный разрыв на
верхнем пределе интегрирования, т.е. в
точке
.
На промежутке интегрирования имеет
место оценка
.
Как было указано ранее интеграл
сходится, следовательно, сходится и
данный интеграл.
Пример
4. Исследовать сходимость
интеграла
.
Решение.
На данном промежутке
справедлива такая оценка
.
Несобственный интеграл
сходится, т.к. является эталонным
интегралом при
(см. пример 1). В силу признака сравнения
данный интеграл сходится.
Пример
5. Исследовать сходимость
интеграла
.
Решение.
Очевидно, что
.
Применим 2-ой признак сравнения
Вывод: данный интеграл сходится.