17. Методика изучения показательной и логарифмической функции.
Значение, место и методика изучения показательной и логарифмической функций.
В природе существует такие процессы, которые не поддаются описанию с помощью алгебраических функций, но с достаточной точностью характеризуются трансцендентными функциями. Среди этих функций важное значение имеют показательная и логарифмическая функции. Показательная функция служит математической формой выражения обширная класса процессов, происходящих в реальной действительности и имеющих общее название процессов естественного роста или убывания величин, например: численности населения, скорости распада радиоактивных веществ, изменения атмосферного давления с высотой над уровнем моря, падения температуры охлаждаемых тел, скорости размножения бактерий, скорости движения тела в сопротивляющейся среде и т.д.
В раскрытии закономерностей этих процессов используется и логарифмическая функция.
Логические и дидактические соображения говорят о том, что изучение показательной и логарифмической функций с произвольным показателем.
В 9 классе в связи с повторением, а затем дальнейшим, а затем дальнейшим повторением и обобщением понятия степени последовательно формируются и понятие показательной функции на множестве действительных чисел. Этот процесс состоит в изучении свойств функции у=а^х на различных этапах расширения и обобщения понятия степени:
1. аεQ, хεN;
2. аεQ, а≠0, хεZ;
3. аεQ, а>0, хεQ;
4. аεR, а>0, хεR.
Сведения о понятии действительного числа, накопленные до 9 класса, недостаточны для строгого определения показательной и логарифмической функций и описание их свойств. Поэтому к показательной и логарифмической функциям, изучаемым в 9 классе на индуктивной и наглядной основе, приходится возвращаться в 11 классе, с тем чтобы завершить логически удовлетворительное изложение материала.
В 9 классе учащиеся впервые встречаются с функцией у=а^х, где хεN при изучении формулы n-го члена геометрической прогрессии: bn=b1 * q^n-1= b1/q *q^n.
Здесь следует рассмотреть частного вида последовательность q,q ^2,q ^3,…, q^n,…с формулой n-го члена bn= q^n (q>0) и в порядке упражнений построить графики функций при конкретно заданных q>1 и q<1 соответственно, отметив по графикам их свойства: возрастание (q>1), убывание (q<1), положительные значение функции на всей ее области определения при любых значениях q>0. Этой функцией можно дать название показательной, определенной на множестве N, но можно этого и не делать, если основной материал темы усваивается учащимся с затруднением.
Основная цель - познакомить учащихся с показательной, логарифмической функциями, их свойствами и графиком.
Какие методические подходы к изучению этих функций существуют в школьных учебниках? В чем их различие? Дается ли понятие обратной функции? И если дается, то когда?
Учебники «Алгебра и начала анализа» 10-11 кл. |
1.Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. |
2.А.Н.Колмогоров,А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.
|
3. Виленкин Н.Я. |
В каких классах |
Изучают в 10 классе |
Изучают в 11классе |
Изучают в 11 классе |
В каком главе и сколько часов дается. |
Глава1. Показательная функция (10ч) 1.Свойства показательной функции и ее график.(2Ч) 2.Показательные уравнения и неравенства Упражнения к главе 1 Глава2. Логарифмическая функция (14ч)
|
Глава 4. Показательная и логарифмическая функции (36ч). § 9. Обобщение понятия степени 32.Корень n-й степени и его свойства 33. Иррациональные уравнения 34.Степень с рациональным показателем. § 10. Показательная и логарифмическая функция(18ч) 35.Показательная функция(2ч) 36. Решение показательных уравнений и неравенств 37. Логарифмы и их свойства 38. Логарифмическая функция(3ч) 39. Решение лог.ур-й и нер-в 40. Понятие об обратной функции |
Глава 8. Показательная, логарифмическая и степенная функции.(40ч) § 1. Показательная функция и ее свойства 1.Процессы ограниченного роста и убывания 2.Обобщения понятие степени 3Определение функции lnx, ее свойства и график 4.Логарифми- ческая функция и степень с любым показателем 5. Показательная функция, ее свойства и график |
|
Прежде чем вводить понятие показательной функции, рекомендуется повторить понятие степени с действительным показателем и ее свойства, а также свойства степенной функции. Свойства монотонности показательной функции обосновывается аналитически и иллюстрируются на графике. В дальнейшем основное внимание уделяется иллюстрации свойств функции по графику (чтение графика). Приводятся примеры применения показательной функции для описания различных физических процессов. |
Понятия корня n-й степени и степени с рациональным показателем являются обобщением понятий квадратного корня и степени с целым показателем. Следует обратить внимание учащихся, что рассматриваемые здесь свойства корней и степеней с рациональным показателем аналогичны тем свойствам, которыми обладают изученные ранее квадратные корни и степени с целыми показателями. Необходимо уделить достаточно времени отработке свойств степеней и формированию навыков тождественных преобразований. Понятие степени с иррациональным показателем вводится на наглядно-интуитивной основе. Этот материал играет вспомогательную роль и используется при введении показательной функции. Изучение свойств показательной, логарифмической функций построено в соответствии с принятой общей схемой исследования функций. При этом обзор свойств дается в зависимости от значений параметров.
|
Здесь показательную функцию проходят после изучения логарифмической функции. Описывает процессы органического изменения. Производная и первообразная показательной функции. Число е. Натуральный логарифмы. (Вычисление пределов, связанных с числом е). радиоактивный распад. Затухающие колебания. |
Задачный материал |
На показательную функцию-12 задач. Из них 6 обязательных.
На логарифмическую функцию-14 задач. Из них 10 обязательных. Одна задача сложный, 2 задачи трудные.
|
На показательную функцию-15 задач. Из них 6 обязательных: 1. Постройте свойства функции и постройте ее график: а) у=4^х; 2. Найдите область значений функции: а) у=-2^х 3. Сравните числа: а) 2,5^-√2 и 1 4. Решите графически уравнения: а) 3^х=4-х На логарифмическую функцию-13 задач. Из них 6 обязательных
4.Верно ли, что лог. функция: а) имеет экстремумы; б) Является нечетной; в) является периодической; г) является четной? |
На логарифмическую функцию-23 задач.
На показательную функцию-8 задач. 1.Постройте на одном чертеже графики функций у=2^х и у=3^х при -1<х<1 в масштабе 1:5 см. 2.Как по графику функции у=с*а^х определить основание а и коэффициент с? 3.Вычислить предел Limх→+∞ 1/х^2+3^х |