Задача о смесях

В различных отраслях производства возникает проблема составления таких рабочих смесей на основе исходных материалов, которые обеспечивали бы получение конечного продукта, обладающего определенными свойствами. К этой группе задач относятся задачи о выборе диеты, составлении кормового рациона в животноводстве, горючих и смазочных смесей, смесей для получения бетона в строительстве и т.д. Высокий уровень затрат на исходные материалы и необходимость повышения эффективности производства выдвигают на первый план следующую задачу: получить продукцию с заданными свойствами при наименьших затратах на исходные сырьевые материалы.

Модель задачи о наилучшем составе смеси рассмотрим на примере задачи о диете.

Имеются пищевые продукты, известные под номерами . Они содержат различные питательные вещества, обозначаемые номерами (углеводы, белки, жиры, витамины, микроэлементы и др.). Единица -го продукта содержит единиц -го питательного вещества. Для нормальной жизнедеятельности в заданный промежуток времени нужно потреблять не менее единиц -го питательного вещества. Обозначим через стоимость единицы продукта -го вида. Требуется выбрать рацион минимальной стоимости, содержащий необходимое количество питательных веществ.

Получаем следующую математическую модель: найти план выпуска  количество продуктов каждого вида, обеспечивающих необходимое количество питательных веществ при минимальных затратах на исходные продукты

(2.8)

при ограничениях

, (2.9)

и условиях неотрицательности

, (2.10)

где

– вектор цен, т.е. стоимость единицы каждого вида продукта;

 количество единиц -го питательного вещества в единице -го вида продукта;

 потребность в питательных веществах каждого вида.

К задачам линейного программирования относится также и транспортная задача, формулировка и математическая модель которой будут приведены позже.

Рассмотрим примеры задач линейного программирования.

Пример 2.1. При изготовлении изделий и используются токарные и фрезерные станки, а также сталь и цветные металлы. По технологическим нормам на производство единицы изделия требуется 300 и 200 единиц соответственно токарного и фрезерного оборудования (в станко-часах), 10 и 20 единиц стали и цветных металлов (в килограммах). Для производства единицы изделия требуется 400, 100, 70 и 50 соответствующих единиц тех же ресурсов. Цех располагает 12400 и 6800 станко-часов оборудования, 640 и 840 кг материалов. Прибыль от реализации единицы изделия составляет 6 тыс. ден. ед., – 16 тыс. ден. ед. Требуется:

1) свести исходные данные в таблицу, удобную для построения модели;

2) составить математическую модель задачи (показатель эффективности – прибыль).

Решение.

1) Обозначим через число изделий , через – изделий , через – суммарную прибыль от реализации производственных изделий. Исходные данные удобно представить в виде таблицы.

Ресурсы	Затраты на единицу изделия		Объем ресурса	Вид ограничений
Станки, станко-ч токарные фрезерные Сталь, кг Цветные маталлы, кг	300 200 10 20	400 100 70 50	12400 6800 640 840	≤ ≤ ≤ ≤
Прибыль, тыс. ден. ед.	6	16	f
План выпуска, шт.	x1	x2

2) Так как каждое изделие дает прибыль 6 тыс. ден. ед., а таких изделий изготавливается ед., то все изделия дадут прибыль ; аналогично изделия обеспечат прибыль . Суммарную прибыль можно записать в виде целевой функции, которая максимизирует прибыль

.

Токарного оборудования на выпуск одного изделия требуется 300 станко-часов, на изделие – 400 станко-часов. Тогда для изготовления изделий и изделий потребуется токарного оборудования (станко-часов). Так как общий фонд рабочего времени токарных станков не может превышать 12400 станко-ч, должно выполняться неравенство

.

Аналогично можно записать условия, налагаемые на фонд рабочего времени фрезерных станков:

,

и лимитирующие материалы: по стали

,

по цветным металлам

.

Итак, искомый план задачи . Тогда математическая модель задачи определяется следующим образом.

Целевая функция

.

Система ограничений

Переменные и не могут быть выражены отрицательными числами, поэтому

.



Пример 2.2. На предприятии имеется листовой материал, представляющий прямоугольники размера 70110 см². Требуется выкроить прямоугольные заготовки типов , число которых соответственно равно 220, 120 и 80. Размеры заготовок следующие: .

Требуется:

1) составить возможные варианты раскроя;

2) построить математическую модель раскроя материала, минимизирующую отходы и удовлетворяющую потребность в заготовках типов .

Решение.

1) Составим хотя бы четыре возможных варианта раскроя листового материала. Заштрихованные места – это отходы, полученные при разрезе листов.

2) Для построения математической модели раскроя листового материала, полученные варианты заносим в таблицу.

Вид заготовки	Размеры заготовки, см2	Способы раскроя				Потребность в заготовках, шт.
		М1	М2	М3	М4
А1 А2 А3	3530 3040 4540	2 3 1	4 1 1	2 1 2	2 4 0	220 120 80
Отходы, см2		200	500	800	800

Пусть  план задачи, где  число листов, раскраиваемых соответствующими способами и . Получаем следующую математическую модель задачи:

,

