- •Раздел 1
- •1. Предмет математического программирования
- •1.1. Модель задачи математического программирования
- •1.2. Классификация методов математического программирования
- •2. Линейное программирование
- •2.1. Виды задач линейного программирования
- •Задача о наилучшем использовании ресурсов
- •Задача о раскрое материалов
- •Задача о смесях
- •2.2. Формы записи задач линейного программирования
- •Переход к канонической форме
- •Переход к симметричной форме
- •2.3. Геометрическая интерпретация и графическое решение злп
- •Графический метод решения злп
- •Свойства решений злп
- •Симплексный метод
- •2.5.1. Построение начального опорного плана
- •Нахождение оптимального опорного плана. Переход к нехудшему опорному плану
- •Переход к нехудшему опорному плану
- •3. Двойственность в линейном программировании
- •3.1. Понятие двойственности. Построение двойственных задач
- •Правило построения двойственной задачи
- •Соответствия между неизвестными в паре взаимно двойственных задач
- •Основные теоремы двойственности и их экономическое содержание
Основные теоремы двойственности и их экономическое содержание
Сформулируем основные теоремы двойственности (без доказательства).
Теорема 3.4 (первая теорема двойственности).
Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая имеет оптимальное решение, причем экстремальные значения целевых функций равны . Если одна из двойственных задач неразрешима вследствие неограниченности целевой функции на множестве допустимых решений, то система ограничений другой задачи противоречива.
Экономическое содержание первой теоремы двойственности состоит в следующем: если задача определения оптимального плана, максимизирующего выпуск продукции, разрешима, то разрешима и задача определения оценок ресурсов. Причем цена продукции, полученной при реализации оптимального плана, совпадает с суммарной оценкой ресурсов. Совпадение значений целевых функций для соответствующих планов пары двойственных задач достаточно для тог, чтобы эти планы были оптимальными. Это значит, что план производства и вектор оценок ресурсов являются оптимальными тогда и только тогда, когда цена произведенной продукции и суммарная оценка ресурсов совпадают. Оценки выступают как инструмент балансирования затрат и результатов. Двойственные оценки гарантируют рентабельность оптимального плана, т.е. равенство общей оценки продукции и ресурсов, и обусловливают убыточность всякого другого плана, отличного от оптимального. Двойственные оценки позволяют сопоставить и сбалансировать затраты и результаты системы.
Теорема 3.5 (о дополнительной нежесткости, вторая теорема двойственности).
Для того чтобы планы и пары двойственных задач были оптимальными, необходимо и достаточно выполнение условий:
,
.
Эти условия называются условиями дополнительной нежесткости. Из них следует: если какое-либо ограничение одной из задач ее оптимальным планом обращается в строгое неравенство, то соответствующая компонента оптимального плана двойственной задачи должна равняться нулю; если же какая-либо компонента оптимального плана одной из задач положительна, то соответствующее ограничение в двойственной задаче ее оптимальным планом должно обращаться в строгое равенство.
Таким образом, если , то ; если , то .
Точно так же, если , то ; если , то .
Экономически это означает, что если по некоторому оптимальному плану производства расход -го ресурса строго меньше его запаса , то в оптимальном плане соответствующая двойственная оценка единицы этого ресурса равна нулю. Если же в некотором оптимальном плане оценок его -ая компонента строго больше нуля, то в оптимальном плане производства расход соответствующего ресурса равен запасу. Отсюда следует вывод: двойственные оценки могут служить мерой дефицитности ресурсов; дефицитный ресурс (полностью используемый по оптимальному плану производства) имеет положительную оценку, а ресурс избыточный (используемый не полностью) имеет нулевую оценку.
Теорема 3.6 (об оценках, третья теорема двойственности).
В оптимальном решении двойственной задачи значения переменных (оценки) численно равны частным производным для исходной задачи, т.е.
. (3.8)
Двойственные оценки показывают приращение функции, вызванное малым изменением свободного члена соответствующего ограничения задачи линейного программирования.
Перейдем к выяснению экономического содержания третьей теоремы двойственности. Для этого в равенстве (3.8) дифференциалы заменим приращениями. Получаем . При имеем . Отсюда величина двойственной оценки численно равна изменению целевой функции при изменении соответствующего свободного члена ограничений на единицу. В прикладных задачах двойственные оценки часто называют скрытыми, теневыми ценами или маргинальными оценками ресурсов.
Пример 3.4. Используя условие примера 2.11:
1) сформулировать в экономических терминах двойственную задачу и составить ее математическую модель;
2) используя решение примера 2.11 и соответствие между двойственными переменными, найти компоненты оптимального плана двойственной задачи – двойственные оценки .
Решение. Математическая модель прямой задачи (смотри пример 2.11) имеет вид:
;
.
Или с учетом введения балансовых неотрицательных переменных , и :
;
.
1) Сформулируем в экономических терминах двойственную задачу и составим ее математическую модель.
Пусть на предприятии появилась возможность продать ресурсы некоторой организации. Необходимо установить цены на эти ресурсы. Обозначим их через . Цены должны быть установлены исходя из следующих требований, отражающих несовпадающие интересы предприятия и организации:
а) покупающая организация стремится минимизировать общую стоимость ресурсов, т.е.
;
б) предприятие согласно продать только по таким ценам, при которых оно получит за них выручку, не меньшую той, что могло бы получить, организовав собственное производство, т.е.
.
Таким образом, математическая модель двойственной задачи имеет вид:
;
.
2) Поскольку прямая задача имеет оптимальное решение, то и двойственная ей задача будет иметь оптимальное решение. В систему ограничений двойственной задачи введем балансовые неотрицательные переменные .
Установим соответствие между переменными прямой и двойственной задачи
Используя решение прямой задачи и полученное соответствие между переменными, найдем оптимальный план двойственной задачи.
.
Оптимальный план двойственной задачи
;
(ден.ед.).
Согласно полученным результатам имеем: ресурс первого вида должен стоить 2 ден.ед., ресурс второго вида – 10 ден.ед. При этом покупающая организация затратит минимальное количество денег на приобретение ресурсов, которое составит 50 ден.ед.
Ответ: , ден.ед.