Задача .4. Дана плотность распределения случайной величины :

Найти вероятности событий:

1) ,

где – математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины .

Решение.

По условию .

1) Используем формулу ( .16):

.

По таблицам функции находим . Следовательно, .

2) Используем формулу ( .15):

.

Так как , то .

Используем формулу ( .14):

Функция нечетная, значит .

Тогда .

Ответ: 1) 0,3988; 2) 0,5; 3)0,1287.

ЧАСТЬ . ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

.1. Основные определения. Выборки малого объема

Математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей. Ее задача  по экспериментальным наблюдениям случайного явления дать обоснованные и возможно полные характеристики наблюдаемого случайного явления. Ниже будет изучаться случайная величина. Эта случайная величина с предписанным ей законом распределения называется генеральной совокупностью, ее значения: ,

полученные в результате независимых опытов, называются выборкой из генеральной совокупности объема . Наблюденные значения , называются вариантами. Выборка с расположенными в порядке возрастания вариантами называется вариационным рядом. Если варианты встречаются раз, то составляют статистический ряд  таблицу, в которой указывают варианты и их частоты (или относительные частоты ):

Таблица 4

Варианты
			или

Объем выборки .

Для наглядного представления выборки используют полигон частот  ломаную, соединяющую точки с координатами ( , ( , . . . . ( , или полигон относительных частот  ломаную, соединяющую точки с координатами ( , ( , . . . ( .

Числовые характеристики выборки  это числовые характеристики вспомогательной дискретной случайной величины , представленной в таблице 5:

Таблица 5

Выборочное среднее определяется формулой

( .1)

Выборочная дисперсия 

( .2)

Выборочное среднее квадратичное отклонение 

.

Коэффициенты асимметрии и эксцесса вычисляются по формулам:

. ( .3)

Формулы для числовых характеристик выборки используются для оценок соответствующих характеристик генеральной совокупности (метод моментов).

Эмпирическая функция распределения (функция распределения выборки)  это функция распределения случайной величины :

.

Выборочная функция распределения (кумулята) аппроксимирует функцию распределения генеральной совокупности.