.5. Статистическая проверка гипотез. Критерий Пирсона

Одной из основных задач математической статистики является проверка по выборке статистической гипотезы  предположения о распределении вероятностей генеральной совокупности. Выделенную гипотезу называют основной, гипотезу , противоречащую основной, называют конкурирующей (альтернативной).

В итоге проверки могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода  отвергнута правильная гипотеза . Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости и обозначается .

Ошибка второго рода  принята неправильная гипотеза . Вероятность ошибки второго рода обозначается . Число ( ) называется мощностью критерия.

Для проверки статистической гипотезы выбирают статистический критерий (или просто критерий), т.е. правило проверки. Это функция элементов выборки, т.е. случайная величина. По критерию определяют критическую область , вероятность попадания в которую при условии истинности основной гипотезы мала: ,где  уровень значимости. Это число стандартизируется мировой практикой.

Обычно

Известны несколько критериев проверки Наиболее распространенным является критерий Пирсона (критерий ):

. ( .9)

Здесь число степеней свободы, т.е. , число интервалов выборки, число независимых соотношений, используемых в критерии, теоретическая вероятность попадания в ый интервал.

Схема проверки гипотезы такова:

1. Выбираются критерий проверки и уровень значимости .

2. По выборке подсчитывается значение критерия .

3. По уровню значимости находят критическую область .

4. Если , то делают вывод: выборка не согласуется с гипотезой . Ведь реализовалось событие, происходящее с малой вероятностью .

Если же , то говорят: выборка согласуется с гипотезой .

.6. Примеры расчета

Задача .1. Измеренные с точностью до сантиметра отклонения длины детали от стандарта составили выборку объема 10

-1, 0, 1, -1,2, 3, 2, 1, 2, -1.

Составить вариационный и статистический ряд, построить полигон относительных частот, найти выборочное среднее, дисперсию, среднее квадратичное отклонение.

Решение.

Расположив варианты в порядке возрастания, получим вариационный ряд

-1, -1, -1, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3.

Статистический ряд имеет вид

Таблица 7

	-1	0	1	2	3
	3	1	2	3	1
		или
	0,3	0,1	0,2	0,3	0,1

Полигон относительных частот представлен на рис. 11 (см.п. п. .1.).

Рис. 11

Выборочное среднее и дисперсию найдем по формулам ( .1) и ( .2):

Среднее квадратичное отклонение

Ответ: таблица 7; рис. 11;

Задача .2. Построить доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением : если выборочная средняя 20, объем выборки , доверительная вероятность 0,95.