.3. Случайные величины с непрерывным распределением

Случайная величина называется непрерывной (случайной величиной с непрерывным распределением), если множество ее возможных значений является промежутком на числовой оси (или вся числовая ось в частном случае) и ее функцию распределении можно представить в виде:

( .4)

Подынтегральная функция называется плотностью распределения вероятностей, или дифференциальной функцией распределения случайной величины .

Свойства плотности распределения :

1) в точках непрерывности функции ; ( .5)

2) – условие нормировки; ( .6)

3) плотность распределения неотрицательна: ;

4) вероятность попадания в заданный интервал определяется либо по формуле ( .2) через функцию распределения, либо по формуле

( .7)

Функция распределения непрерывной случайной величины является непрерывной монотонно возрастающей функцией на всей числовой оси.

.4. Числовые характеристики случайных величин

Функция распределения полностью характеризует случайную величину . При решении многих практических задач бывает достаточно знать числовые характеристики, которые дают сжатое и наглядное представление о случайной величине. К ним относятся в первую очередь характеристики положения: математическое ожидание, мода, медиана и характеристики рассеивания: дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

1. Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины (с.в.), определяемое по формулам

( .8)

Если множество возможных значений счетно, то в определении ( .8) ряд должен быть сходящимся. Несобственный интеграл в определении ( .8) должен быть абсолютно сходящимся. В противном случае случайная величина не имеет математического ожидания.

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной: .

2. Постоянный множитель в произведении выносится за знак математического ожидания: .

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий: .

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: .

2. Дисперсия случайной величины определяется как математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины :

( .9) Дисперсия характеризует разброс возможных значений случайной величины относительно среднего значения, имеет размерность квадрата размерности случайной величины. Для удобства сравнений вводят величину, имеющую ту же размерность, что и случайная величина – среднее квадратическое отклонение: .

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной равна нулю: .

2. Постоянный множитель в произведении выносится за знак дисперсии в квадрате: .

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий: .

3. Начальные и центральные моменты высших порядков

Математическое ожидание и дисперсия являются частными случаями общих характеристик случайной величины – начальных и центральных моментов высших порядков.

Начальным моментом го порядка называется математическое ожидание случайной величины : .

Для случайной величины дискретного типа –

, ( .10)

для непрерывного типа –

. ( .11)

Начальный момент первого порядка является математическим ожиданием случайной величины:

Центральным моментом го порядка называется математическое ожидание й степени центрированной случайной величины : .

Для случайных величин дискретного и непрерывного типа определяются соответственно по формулам

( .12)

( .13)

Центральный момент второго порядка является дисперсией случайной величины: .

Центральные моменты третьего и четвертого порядков позволяют оценить форму распределения. Параметрами формы называются коэффициенты асимметрии и эксцесса :

. ( .14)

Коэффициент асимметрии характеризует закон распределения с точки зрения его симметричности относительно математического ожидания [1], коэффициент эксцесса характеризует «островершинность» распределения относительно нормального распределения, для которого [1].