15. Движение тел с переменной массой.

     Во многих задачах имеет место случай, когда масса тела изменяется в процессе движения за счет непрерывного отделения или присоединения вещества (ракета, реактивный самолет, платформа, нагружаемая на ходу, и др.). Определим уравнение движения такого тела.

     Рассмотрим решение этого вопроса для материальной точки, называя ее для краткости частицей. Пусть в некоторый момент времени   масса движущейся частицы А равна  , а присоединяемая (или отделяемая) масса имеет скорость   относительно этой частицы.

     Введем вспомогательную инерциальную K-систему отсчета, скорость которой такова же, как и скорость тела А в данный момент  . Это значит, что в момент   частица А покоится в этой системе. Предположим, что за промежуток времени от  до   частица А приобретает в K-системе импульс  . Этот импульс частица А получит, во-первых, вследствие присоединения (отделения) массы  , которая приносит (уносит) импульс  , во-вторых, вследствие действия силы   со стороны окружающих тел или силового поля. Таким образом, можно записать, что

     

     где знак плюс соответствует присоединению массы, а знак минус - отделению. Оба эти случая можно объединить, представив   в виде приращения   массы частицы А (действительно, в случае присоединения массы  а в случае отделения  Тогда предыдущее уравнение примет вид

     

.

     Поделив это выражение на  , получим

     

(4.26)

     где   - скорость присоединяемого (или отделяемого) вещества относительно рассматриваемого тела.

     Это уравнение является основным уравнением динамики материальной точки с переменной массой. Его называют уравнением Мещерского. Будучи выведенным в одной инерциальной системе отсчета, это уравнение в силу принципа относительности верно и в любой другой инерциальной системе. Заметим, что если система отсчета неинерциальная, то под силой   следует понимать результирующую как сил взаимодействия данного тела с окружающими телами, так и сил инерции.

     Последний член уравнения (4.26) носит название реактивной силы:  . Эта сила возникает в результате действия на данное тело присоединяемой (или отделяемой) массы. Если масса присоединяется, то  и вектор   совпадает по направлению с вектором относительной скорости; если же она отделяется, то  и вектор  противоположен вектору  .

     Уравнение Мещерского по своей форме совпадает в основным уравнением динамики материальной точки постоянной массы: слева - произведение массы тела на ускорение, справа - действующие на него силы, включая реактивную силу. Однако в случае переменной массы нельзя внести массу   под знак дифференцирования и представить левую часть уравнения как производную по времени от импульса, так как  .

     Отметим два важных частных случая.

     1. Если  , т. е. масса присоединяется или отделяется без скорости относительно тела, то  , и уравнение (4.26) принимает вид

     

(4.27)

     где   - масса тела в данный момент времени. Это уравнение определяет, например, движение платформы, из которой свободно высыпается песок.

     2. Если  , т. е. присоединяемая масса неподвижна в выбранной системе отсчета или отделяемая масса становится неподвижной в этой системе, то уравнение (4.26) принимает другой вид

     

     или

     

(4.28)

     Иначе говоря, только в этом частном случае действие силы   определяет изменение импульса тела с переменной массой. Данный случай реализуется, например, при движении платформы, нагружаемой сыпучим веществом из неподвижного бункера.

     Рассмотрим пример на применение уравнения Мещерского.

     Пример. Ракета движется в инерциальной K-системе отсчета в отсутствие внешнего силового поля, причем так, что газовая струя вылетает с постоянной относительно ракеты скоростью . Определить зависимость скорости ракеты от ее массы  , если в момент старта начальная масса ракеты равна  .

     В данном случае   и из уравнения (4.26) следует

     

     Проинтегрировав это выражение с учетом начальных условий, получим

     

     где знак минус показывает, что вектор скорости ракеты   противоположен по направлению вектору скорости вытекающих газов  . Эта формула носит специальное название - формула Циолковского. Отсюда видно, что конечная скорость ракеты в случае   не зависит от времени сгорания топлива:   определяется только отношением начальной массы  ракеты к оставшейся массе m.

     Заметим, что если бы вся масса горючего была одновременно выброшена со скоростью   относительно ракеты, то скорость последней оказалась бы иной. Действительно, если ракета вначале покоилась в выбранной инерциальной системе отсчета, а после одновременного выброса всего горючего приобрела скорость  , то из закона сохранения импульса для системы ракета - гoрючее следует

     

,

     где   - скорость горючего относительно данной системы отсчета. Отсюда определяем скорость ракеты 

     

     Скорость ракеты   в этом случае оказывается меньше, чем в предыдущем при условии, что отношение масс   одинаково. В этом нетрудно убедиться, сравнив характер зависимости  от отношения масс в обоих случаях. С ростом   в первом случае, когда вещество отделяется непрерывно, скорость   ракеты, в соответствии с первой формулой, растет неограниченно, во втором же случае, когда вещество отделяется одновременно, скорость   стремится к пределу, равному