2. Динамічне планування

Кожну з розглянутих вище моделей можна узагальнити на той випадок, коли задача планування носить мультичасовий характер. Так, наприклад, якщо в задачі розподілу ресурсів сировинні і людські ресурси, а також прибуток з одиниці продукції змінюються у часі, то задача оптимізації здобуває динамічний характер. При цьому вона не зводиться цілком до задачі оптимізації для послідовних періодів часу, розглянутих ізольовано одне від одного.

Загальним для всіх моделей цієї категорії є те, що поточні керуючі рішення „виявляються” як у період, що відноситься безпосередньо до моменту ухвалення рішення, так і в наступні періоди. Отже, найбільш важливі економічні наслідки виявляються у різні періоди, а не тільки протягом одного періоду.

Багато важливих моделей лінійного програмування мають так звану мережну структуру, що привзодить до дуже простого табличного подання.

Приклад. Велика молочна фірма має m заводів, що знаходяться в різних районах однієї області. Щодня виробництво молочної продукції на заводі i (i = 1, 2, ..., m) не перевищує S_i літрів. Щоб задовольнити наявний попит, фірма повинна щодня поставляти на кожний з n пунктів збуту не менш D_j (j = 1, 2, ..., n) літрів свіжої продукції. Економічна задача полягає в тому, щоб визначити, які зливальні пункти якими заводами варто забезпечити, щоб транспортні витрати були мінімальними.

Нехай x_ij – кількість літрів молока, що постачається на j-й зливальний пункт i-м заводом, а с_ij – відповідні транспортні витрати у розрахунку на один літр.

Завод	Пункт збуту
	1		2		3			n		Пропозиція
1	c11	x11	c12	x12	c13	x13		c1n	x1n	S1
2	c21	x21	c22	x22	c23	x23		c2n	x2n	S2
3	c31	x31	c23	x23	c33	x33		c3n	x3n	S3
m	Cm1	xm1	cm2	x11	Cm3	xm3		cmn	xmn	Sm
Попит	D1		D2		D3				Dn

Рис. 1.1. Транспортний розклад

Математично задача формулюється в такий спосіб:

мінімізувати (1.4)

при обмеженнях

(i = 1, 2, …, m) (для пропозиції), (1.5)

(j = 1, 2, …, n) (для попиту), (1.6)

(i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.7)

Зручне для використання табличне подання розглянутої ситуації дане на рис. 1.1. Якщо , так що повний попит, принаймні, не перевищує сумарної пропозиції (тобто повного обсягу фірмою продукції, що випускається), то завжди можна знайти припустимий графік перевезень, коли використовується не більш маршрутів. Як показано у розділі 2, при сформульованих вище умовах існує таке оптимальне рішення, що використовується не більше маршрутів.

Завод	Пункт збуту
	1		2		3		4		Пропозиція
1	c11	2	c12	8	c13		c14		10
2	c21		c22	1	c23	3	c24	2	6
3	c31		c23		c33		c34	15	15
Попит	2		9		3		17n

Рис. 1.2. Попереднє допустиме рішення

Для побудови одного з можливих графіків такого роду з числом маршрутів, що не перевищують , варто почати з верхнього лівого (або, як іноді кажуть, з північно-західного) кута таблиці і розподіляти продукцію в обсязі S₁ по пунктах збуту (починаючи з пункту, споживаного D₁ літрів), поки S₁ не буде цілком вичерпано. Потім аналогічні дії проводяться з S₂ і т.д. Таблиця на рис. 1.2 є ілюстрацією цієї процедури. Немає необхідності пояснювати, що одержуваний при цьому пробний маршрутний графік може виявитися (і, як правило, виявляється далеко не оптимальним).

Характерною рисою мережної моделі, обумовленої співвідношеннями (1.4) – (1.7), є те, що у випадку, коли має місце хоча б одне припустиме рішення, завжди існує оптимальне рішення, для якого всі x_ij приймають цілочисельні значення (за умови, якщо S_i і D_j приймають цілі значення).