§2. Элементы комбинаторики.

Основной принцип комбинаторики (правило умножения). Пусть нужно последовательно выполнить k действий. Если первое действие можно выполнить n способами, после этого второе - n способами , потом третье - n способами и т.д. . до k-ого действия , которое можно выполнить n способами , то все k действий вместе могут быть выполнены n n n ... n способами.

Правило сложения. Если два действия, которые взаимно исключают друг друга, могут быть выполнены одно n, а другое m способами, то выполнить какое-то одно из этих действий можно n + m способами.

Перестановкой какого-то количества объектов называется любое расположение этих объектов в определенном линейном порядке.

Теорема. Количество перестановок из n элементов равно P_n = n!

Сколькими способами можно расставить на полке три книги?

Размещением называется любая перестановка из r-элементов, которые принадлежат множеству, которое включает все n элементов.

Общее количество таких размещений обозначается: _, где r  n.

Теорема. Количество размещений из n-элементов по r равно

Выбрать 3 книги из 7 и поcтавить их на три свободные места на полке. Найти количество вариантов.

Сочетание - это набор объектов, которые рассматриваются без учета их порядка.

Сочетанием из n-элементов по r называется произвольное неупорядоченное подмножество множества, содержащее r различных объектов.

Общее количество сочетаний обозначается: , где

Теорема. Количество сочетаний из n-элементов по r

Сколькими способами можно выбрать три книги из 7?

Полезные формулы:

 Задача о шарах.

В коробке лежат 9 белых и 4 черных шара. Вынимают наугад два шара. Найти вероятность того, что они:

1. белые;

2. черные;

3. разноцветные;

4. белые или черные.

Решение

(1-й способ - с использованием классической формулы вероятностей и комбинаторики).

Обозначим события:

А - шары белые, B - шары черные, C - шары разноцветные, D - шары или белые, или черные.

Для решения задачи используем классическую формулу вероятности

,

что требует расчета общего количества случаев в опыте (n) и количества благоприятных случаев (m) для каждого из событий A, B, C, D, которые мы обозначим соответственно

1. n - различные комбинации по 2 шара из (9+4)=13, то есть n = = 78

- различные комбинации по 2 шара из 9 белых, то есть =

Таким образом, = 36/78 = 6/13.

2. n - различные комбинации по 2 шара из (9+4)=13, то есть n = = 78

- различные комбинации по 2 шара из 4 черных, то есть =

Таким образом, = 6/78 = 1/13.

3. n - различные комбинации по 2 шара с (9+4)=13, то есть n = = 78

по пpавилу умножения = 4 9=36

Таким образом, = 36/78 = 6/13

4. n - различные комбинации по 2 шара из (9+4)=13, то есть n = = 78

По результатам п.1 и п.2 два белые шара можно получить =36, а два черных - =6 способами. Тогда по пpавилу сложения = 36+6 = 42

Таким образом, = 42/78 = 7/13