Управление и оптимизация / Novikov - Teoriya upravleniya organizatsionnimi sistemami 2005

9.5. Аккордная оплата труда72

Рассмотрим ОС, состоящую из центра и n агентов, осуществляющих совместную деятельность.

Стратегией i-го агента является выбор действия yi Î Ai = Â1+ , i Î N, стратегией центра – выбор системы

стимулирования, определяющей размер вознаграждения каждого агента в зависимости от результата их совместной деятельности. Предположим, что технология взаимодействия агентов такова, что для достижения требуемого результата необходимо, чтобы сумма их действий была не меньше заданной величины θ Î Ω. В этом случае i-й агент получает от центра фиксированное вознаграждение σi, i Î N, в случае же å yi < θ вознаграждения всех агентов

i N

равны нулю.

Выбор действия yi ³ 0 требует от i-го агента затрат ci (y, ri), где ri > 0 – его тип (параметр, описывающий индивидуальные характеристики), i Î N.

Относительно функций затрат агентов предположим, что ci (y, ri) – непрерывная возрастающая по yi и убывающая

по ri функция, причем " y–i Î A–i, " ri > 0 ci (0, y–i, ri) = 0, i Î N.

Определим множество индивидуально рациональных действий агентов

IR = {y Î A' | " i Î N σi (y) ³ ci (y, ri)}. (1)

В случае если затраты агентов сепарабельны, то есть затраты ci (yi, ri) каждого агента зависят только от его собственных действий и не зависят от действий других аген-

тов, получаем, что IR = ∏[0; yi+ ] , где

72 Раздел написан совместно с А. Г. Чхартишвили.

440

Рассмотрим последовательно различные варианты информированности агентов о значении параметра q Î W.

Вариант I. Предположим, что значение q Î W является общим знанием. Тогда равновесием игры агентов является параметрическое равновесие Нэша, принадлежащее множеству равновесий Нэша:

EN(q) = IR Ç Y(q). (5)

Определим также множество эффективных по Парето действий агентов:

Так как " q Î W Y*(q) Í Y(q), то из (5) и (6) следует, что множество эффективных по Парето действий является одним из равновесий Нэша. Но множество равновесий

Нэша может оказаться шире – в частности, при q ³ max yi+

i N

оно всегда содержит вектор нулевых действий.

Отметим, что множество (6) Парето-эффективных действий может быть сделано непустым за счет мотивационного управления, то есть выбора соответствующего вектора вознаграждений {si}.

Из того, что " q Î W Par (q) Í EN(q), следует, что любая норма деятельности À(×), для которой выполнено

" q Î W À(q) Î Par (q), (7)

является одновременно и согласованной, и эффективной по Парето. Содержательно при использовании нормы, удовлетворяющей (7), центр указывает агентам среди достаточно широкого множества равновесий Нэша (при том, что каждому агенту наиболее выгоден выбор минимального действия, принадлежащего соответствующей

441

проекции множества равновесий Нэша (5)) конкретную точку, которая является эффективной по Парето, то есть минимизирует суммарные затраты агентов по достижению требуемого результата.

Приведем пример. Пусть имеются n = 2 агента с функциями затрат типа Кобба-Дугласа: ci (yi, ri) = ri j (yi / ri), где j (×) – гладкая монотонно возрастающая выпуклая функция, удовлетворяющая j (0) = 0.

Тогда эффективной по Парето является единственная точка: y*(q) = { yi* (q)}, где yi* (q) = q ri / årj , i N.

множество Парето не пусто (причем множество Парето при различных q W составляет отрезок прямой с углом наклона, равным отношению типов агентов) и согласованной является норма

i (q) = yi* , i N.

Множества равновесий Нэша в рассматриваемом примере для двух значений q: q2 > q1 приведены на рисунке 9.1 (точка (0; 0) является равновесием Нэша в обоих случаях).

Итак, мы рассмотрели первый вариант информированности агентов, соответствующий ситуации, когда значение параметра q W является общим знанием. Рассмотрим следующий (в порядке возрастания сложности структуры информированности агентов) вариант информированности, в рамках которого общим знанием являются индивидуальные представления {qi} агентов о значении параметра q W.

442

Вариант II. Предположим, что представления агентов о неопределенном параметре попарно различны (и при этом являются общим знанием). Не ограничивая общности, занумеруем агентов таким образом, чтобы их представления возрастали: θ1 < … < θn.

Структура возможных равновесий в этой ситуации описывается следующим утверждением [42, 56]: в игре «аккордная оплата труда», для которой θi ¹ θj при i ¹ j, равновесными (в зависимости от соотношения между параметрами) могут быть следующие (n + 1) исходов: {y* | yi* = 0, i Î N}; {y* | yk* = θk , yi* = 0, i Î N, i ¹ k}, k Î N.

Содержательно это означает следующее: либо никто не работает, либо работает один k-й агент, выбирая действие θk.

Рассмотрим теперь вопрос о том, при каких соотношениях между параметрами θi, yi+ , i Î N, реализуется каждое из (n + 1) равновесий, перечисленных выше.

443

Вектор (0, …, 0) является равновесным в случае, когда никакой i-й агент не может собственными усилиями выполнить достаточную (с его точки зрения) для получения вознаграждения работу (либо это усилие составляет в

точности yi+ , так что выигрыш i-го агента остается нулевым). Это условие формально записывается следующим образом: yi+ £ θi для любого i.

Вектор {y* | yk* = θk , yi* = 0, i ¹ k} является равновесным, если θk £ yk+ , а все агенты с номерами i > k, считая, что

вознаграждения не будет, являются недостаточно эффективными, чтобы собственными усилиями компенсировать

величину θi – θk. Формально: θk + yi+ £ θi для любого i > k.

Возможные равновесия в игре двух агентов изображены на рисунке 9.2. Заметим, что, в отличие от варианта I, существует область, в которой равновесие отсутствует.

y2+

(0, θ 2)

θ 2

(0, 0)

θ 2 – θ 1

Рис. 9.2. Равновесия в игре двух агентов (область, где равновесия нет, обозначена символом « »)

444

Рассмотрим теперь общий случай, когда представления агентов могут и совпадать: q1 £ … £ qn. В этом случае может появиться целая область равновесий, аналогично варианту I. Пусть, например, выполняются соотношения qm = qm+1 = … = qm+p, qi ¹ qm при i Ï {m, …, m + p}.

k=m

iÏ {m, …, m + p}}. Содержательно это означает, что в равновесии всю работу выполняют агенты, которые одинаково представляют себе необходимый для получения вознаграждения объем работы.

Вариант III. Пусть теперь структура информированности игры имеет глубину 2, но каждый агент считает, что играет в игру с асимметричным общим знанием. В этом случае множество возможных равновесных ситуаций ста-

новится максимально возможным: ∏[0; yi+ ] .

i N

Более того, справедливо следующее утверждение [42]: в игре «аккордная оплата труда» для любого вектора

действий y* Î ∏[0; yi+ ) существует такая структура ин-

i N

формированности глубины два (при которой каждый агент субъективно играет в игру с асимметричным общим знанием), что вектор y* является единственным равновесием.

Для того чтобы доказать это утверждение, достаточно

445

θij > å yk+ , j N \ {i}. Тогда i-й агент ожидает от оппонен-

k N

тов нулевых действий, а его собственным субъективно равновесным действием является yi* .

Отметим, что, во-первых, построенное равновесие является (объективно) Парето-эффективным, если сумма

å yi* равна истинному значению неопределенного пара-

i N

метра θ. Во-вторых, действие yi* = yi+ является равновесным, если θi = yi+ . Однако при этом равновесным будет и действие yi* = 0 – в обоих случаях субъективно ожидаемый

i-м агентом выигрыш равен нулю.

Вариант IV. Пусть теперь структура информированности игры имеет глубину два и на нижнем уровне имеется симметричное общее знание. Иными словами, каждый фантомный агент считает: неопределенный параметр равен θ, и это общее знание.

Оказывается, что и в этом случае множество равновесных ситуаций является максимально возможным:

∏[0; yi+ ] . Более того, справедливо следующее утвержде-

i N

ние [42]: в игре «аккордная оплата труда» для любого

вектора действий y* ∏[0; yi+ ) существует такая структу-

i N

ра информированности глубины два с симметричным общим знанием на нижнем уровне, что вектор y* является единственным равновесием.

Строится эта структура информированности следую-

щим образом. Возьмем любое значение θ > å yi+ и будем

i N

считать, что это значение является общим знанием среди фантомных агентов. Тогда единственным равновесием в игре фантомных агентов является выбор каждым из них

446

нулевого действия. Достаточно для каждого i N поло-

тельное число) и выбрать любые qij > å yi+ , j N \{i}. То-

i N

гда i-й агент ожидает от оппонентов нулевых действий, а его собственным субъективно равновесным действием является yi* .

Таким образом, игра «аккордная оплата труда», помимо эффектов сложной зависимости структуры информационных равновесий от вида структур информированности и рефлексивного управления, интересна тем, что она иллюстрирует роль управления нормами деятельности в случаях, когда множество равновесий игры агентов состоит более чем из одной точки.

9.6.Дуополия Курно

Внастоящем разделе рассматривается пример, иллюстрирующий целесообразность совместного использования информационного и институционального управления.

Напомним, что нормой деятельности называется ото-

бражение : W → X' множества возможных состояний природы во множество допустимых векторов действий агентов.

Пусть предпочтения центра заданы на множестве состояний природы, норм деятельности и действий агентов: F (q, (×), y). Предполагая, что агенты следуют установлен-

ным нормам, обозначим K( (×)) = Fθ (F (q, (×), (q))) –

эффективность институционального управления (×), где

Fθ (×) – оператор устранения неопределенности. В качестве оператора устранения неопределенности (в зависимости от информированности центра) может использоваться гаран-

447

тированный результат по множеству W или математическое ожидание по известному распределению вероятностей p (q) на множестве W и т. д.

Тогда задачей институционального управления при ограничениях M на нормы деятельности будет выбор допустимой нормы À*(×) Î M , имеющей максимальную эффективность:

À*(×) = arg max K(À (×)),

À(×)ÎM

при условии, что агенты следуют установленным нормам деятельности. Выше предложено называть норму À(×) согласованной, если предписываемое ей действие является информационным равновесием игры агентов.

Можно сформулировать обратную задачу информа-

ционного управления: пусть задан вектор x* Î X' действий агентов, требуется найти множество I(x) структур информированности, при которых данный вектор действий является информационным равновесием. Имея решение этой задачи, можно ставить и решать множество других задач управления – как институционального, так и информационного, например, совместного определения информационной структуры и нормы, реализующих заданные действия агентов, и др.

Пусть ОС состоит из двух агентов, имеющих целевые функции

множества допустимых действий составляют положительную полуось, а W = [1; 2].

Множества наилучших ответов агентов в рассматриваемом примере состоят из одной точки:

448

Предположим, что субъективные представления агентов о состоянии природы являются общим знанием, тогда параметрическое равновесие Нэша есть

На рисунке 9.3 приведены множества наилучших ответов агентов при различных θ Ω, а также следующие множества (см. также обозначения, введенные в восьмой главе, а также в четвертом разделе Приложения 1, посвященном рефлексивным играм):

EN0 = UEN (θ,θ, ...,θ ) – множество всевозможных

θ Ω

параметрических равновесий Нэша – отрезок FG; EN = UEN (θ ) – четырехугольник AGCF;

θ Ω n

E = ∏Proji EN – квадрат ABCD;

i N

E4 (см. определение ниже) – шестиугольник KLMNPH.

2y2

1BR1(2, y2)

BR1(1, y2)

Рис. 9.3. Множества равновесий

449