- •Модуль 2. Вибірковий метод
- •3. Двома методами проведені виміри однієї й тієї ж самої фізичної величини. Отримано наступні результати:
- •13. Двома приладами в тому самому порядку виміряні 6 деталей і отримані наступні результати вимірів (у сотих частках мм):
- •15. Партія виробів приймається, якщо ймовірність того, що виріб виявиться бракованим, не перевищує 0,02. Серед випадково відібраних 480 виробів виявилося 12 бракованих. Чи можна прийняти партію?
- •Модуль 2. Вибірковий метод Завдання для самостійного виконання
Модуль 2. Вибірковий метод
Приклади розв’язування задач 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15
1. За двома незалежними вибірками, об'єми яких n1 = 11 і n2 = 14, витягнутими з нормальних генеральних сукупностей X і Y, знайдені виправлені вибіркові дисперсії = 0,76 і = 0,38. При рівні значущості α=0,05, перевірити нульову гіпотезу H0: D (X) = D(Y) про рівність генеральних дисперсій, при конкуруючій гіпотезі H1: D (X) > D(Y).
Відповідь:
Знайдемо відношення більшої виправленої дисперсії до меншої:
Fспост = = 2
За умовою конкуруюча гіпотеза має вигляд D (X) > D(Y), тому критична область - правостороння.
По таблиці розподілу Фішера, за рівнем значущості α=0,05 та кількості степенів вільності k1=n1–1=11–1=10 та k2=n2–1=14–1=13 знаходимо критичну точку
Fкр(0,05;10;13) = 2,67
З того, що Fспост < Fкр - немає підстав відкинути гіпотезу про рівність генеральних дисперсій. Інакше кажучи, вибіркові виправлені дисперсії різняться не значимо.
2. За двома незалежними вибірками, об'єми яких n1 = 14 та n2 = 10, витягнутими з нормальних генеральних сукупностей X і Y, знайдені виправлені вибіркові дисперсії = 0,84 і = 2,52. При рівні значущості α = 0,1, перевірити нульову гіпотезу H0: D(X)=D(Y) про рівність генеральних дисперсій при конкуруючій гіпотезі H1: D(X)≠D(Y).
Відповідь:
Знайдемо відношення більшої виправленої дисперсії до меншого:
Fспост = = 3
За умовою конкуруюча гіпотеза має вигляд D(X)≠D(Y), тому критична область - двостороння. Відповідно, при відшуканні критичної точки варто брати рівень значущості, удвічі менший заданого.
За таблицею, при рівні значущості та степеням вільності k1=10 – 1 = 9 і k2 = 14 – 1 = 13, знаходимо критичну точку:
Fкр(0,05; 9; 13) = 2,71.
З того, що Fспост > Fкр — нульову гіпотезу про рівність генеральних дисперсій відкидаємо.
3. Двома методами проведені виміри однієї й тієї ж самої фізичної величини. Отримано наступні результати:
а) у першому випадку x1 = 9,6; x2 = 10,0; x3 = 9,8; x4 = 10,2; x5=10,6;
б) у другому випадку y1 = 10,4; y2 = 9,7; y3 = 10,0; y4 =10,3.
Чи можна вважати, що обидва методи забезпечують однакову точність вимірів, якщо прийняти рівень значущості α=0,1? Передбачається, що результати вимірів розподілені нормально та вибірки незалежні.
Відповідь:
Про точність методів будемо казати виходячи з величини дисперсій. Таким чином, нульова гіпотеза має вигляд H0: D(X)=D(Y). У якості конкуруючої приймемо гіпотезу H1: D (X)≠D(Y).
Знайдемо вибіркові дисперсії. Для спрощення обчислень перейдемо до умовних варіантів:
ui = 10xi – 100, vi = 10yi – 100
У підсумку одержимо умовні варіанти
ui -4 0 - 2 2 6
vi 4 -3 0 3
Знайдемо виправлені вибіркові дисперсії:
= = = 14,8
= = = 10
Порівняємо дисперсії. Знайдемо відношення більшої виправленої дисперсії до меншої (кожна з дисперсій збільшилася в 102 разів, але їхнє відношення не змінилося):
Fспост =1,48
За умовою конкуруюча гіпотеза має вигляд D(X)≠D(Y), тому критична область двостороння та при знаходженні критичної точки варто брати рівень значущості, удвічі менший заданого.
За таблицею при рівні значущості α/2 = 0,1/2 = 0,05 і числам степенів вільності k1= 1—1=5—1=4 і k2 = n2—1=4—1=3 знаходимо критичну точку Fкр (0,05; 4; 3) = 9,12,
Тому що Fспост < Fкр — немає підстав відкинути нульову гіпотезу про рівність генеральних дисперсій. Інакше кажучи, виправлені дисперсії розрізняються не значиме й, отже, обидва методи забезпечують однакову точність вимірів.
4. З нормальної генеральної сукупності витягнута вибірка об'єму n = 21 і по ній знайдена виправлена вибіркова дисперсія = 16,2. Потрібно, при рівні значущості 0,01, перевірити нульову гіпотезу H0: σ2 = σ20 = 15, прийнявши у якості конкуруючої гіпотезу H1: σ2>15.
Відповідь:
Знайдемо значення критерію
Χ2спост =
За умовою конкуруюча гіпотеза має вигляд σ2 > 15, тому критична область — правостороння. З відповідної таблиці, за рівнем значущості 0,01 і числу степенів вільності k = n-1=21–1=20 знаходимо критичну точку Χ2кр(0,01; 20) = 37,6.
Тому що Χ2спост < Χ2кр — немає підстав відкинути нульову гіпотезу про рівність генеральної дисперсії гіпотетичному значенню σ20= 15. Інакше кажучи, розходження між виправленою дисперсією (16,2) і гіпотетичною генеральною дисперсією (15) не значуще.
5. Точність роботи верстата-автомата перевіряється по дисперсії контрольованого розміру виробів, що не повинна перевищувати σ20 = 0,1. Узято пробу з випадково відібраних виробів, причому отримані наступні результати вимірів:
Контрольований розмір
проби виробів xi 3,0 3,5 3,8 4,4 4,5
частота ni 2 6 9 7 1
Потрібно, на рівні значущості 0,05, перевірити, чи забезпечує верстат необхідну точність.
Відповідь:
Нульова гіпотеза H0: σ2 = σ20 = 0,1. Приймемо як конкуруючу гіпотезу H1: σ2 ≠ 0,1.
Знайдемо виправлену вибіркову дисперсію. Для спрощення розрахунку перейдемо до умовних варіантів. Взявши до уваги, що вибіркова середня приблизно дорівнює 3,9, покладемо ui = 10xi - 39. Розподіл частот приймає вид:
ui -9 -4 -1 5 6
ni 2 6 9 7 1
Знайдемо допоміжну дисперсію умовних варіант
=
підставивши дані задачі, одержимо = 19,91
Знайдемо шукану виправлену дисперсію
=
Знайдемо спостережуване значення критерію
Χ2спост =
Конкуруюча гіпотеза має вигляд σ2 ≠ σ20, тому критична область – двостороння.
Знайдемо по таблиці критичні точки: ліву
та праву
Маємо Χ2спост > Χ2прав отже, нульову гіпотезу відкидаємо; верстат не забезпечує необхідну точність і вимагає підналагодження.
6. Партія виробів приймається, якщо дисперсія контрольованого розміру значуще не перевищує 0,2. Виправлена вибіркова дисперсія, знайдена за вибіркою об'ємом n=121, виявилася рівною = 0,3. Чи можна прийняти партію при рівні значущості α=0,01?
Відповідь:
Нульова гіпотеза H0: σ2 = σ20 = 0,2. Конкуруюча гіпотеза H1: σ2 >0,2.
Знайдемо значення критерію, яке спостерігалося:
Χ2спост =
Конкуруюча гіпотеза має вигляд σ2>0,2, отже, критична область правостороння. Оскільки в таблиці не міститься числа степенів вільності k=120, знайдемо критичну точку приблизно з рівності Уілсона – Гільферті (теоретично нами розглянута не була, приймемо її, як факт покладаючись на авторитет В.Є. Гмурмана):
Знайдемо попередньо (з огляду на, те що за умовою α=0,01) zα = z0,01 з рівності:
За таблицею функції Лапласа, використовуючи лінійну інтерполяцію, знаходимо: z0,01 = 2,326. Підставивши k=120, zα=2,326 у формулу Уілсона — Гільферті, одержимо Χ2кр(0,01; 120) =158,85. (Це спостиження досить гарне: у більш повних таблицях наведене значення 158,95). Нульову гіпотезу відкидаємо. Партію прийняти не можна.
7. По двох незалежних вибірках, об'єм яких n=40 і m=50, витягнутих з нормальних генеральних сукупностей знайдені вибіркові середні =130 і =140. Генеральні дисперсії відомі: D(x) = 80, D(y)=100. Потрібно, на рівні значущості 0,01, перевірити нульову гіпотезу H0: М(Х) = М(Y), при конкуруючій гіпотезі H1: M (X) ≠ M(Y).
Відповідь:
Знайдемо вибіркове значення критерію
За умовою конкуруюча гіпотеза має вигляд М(Х ) ≠ М(Y), тому критична область - двостороння. Знайдемо праву критичну точку з рівності
За таблицею функції Лапласа знаходимо zкр = 2,58
З того, що |zспост| > zкр, випливає, що нульову гіпотезу необхідно відкинути.
8. За двома незалежними малими вибірками, об'єми яких n =12 і m =18, вилученими з нормальних генеральних сукупностей X і Y, знайдені вибіркові середні =31,2, = 29,2 і виправлені вибіркові дисперсії = 0,84 та = 0,40. Потрібно, на рівні значущості 0,05, перевірити нульову гіпотезу H0:М(Х)=М(Y) при конкуруючій гіпотезі H1:M(X)≠M(Y).
Відповідь:
Виправлені дисперсії різні, тому перевіримо попередньо гіпотезу про рівність дисперсій, використовуючи критерій Фшера-Снедекора.
Знайдемо відношення більшої дисперсії до меншої:
Дисперсія значно більше дисперсії , тому в якості конкуруючої приймемо гіпотезу H1: D (X) > D(Y). У цьому випадку критична область – двостороння. По таблиці за рівнем значущості α = 0,05 і числам степенів вільності k1=n–1=12–1=11 і k2=m–1=18–1=17 знаходимо критичну точку Fкр(0,05;11;17) =2,41.
З того, що Fспост<Fкр – немає підстав відкинути нульову гіпотезу про рівність генеральних дисперсій. Припущення про рівність генеральних дисперсій виконується, тому порівняємо середні.
Обчислимо спостережуване значення критерію Стьюдента
Підставивши числові значення вхідних величин у цю формулу, одержимо Tспост =7,8.
За умовою конкуруюча гіпотеза має вигляд M (X) ≠ M(Y), тому критична область — двостороння. За рівнем значущості 0,05 і числу степенів вільності k=n+m–2=12+18–2=28 знаходимо по таблиці критичну точку tдвост.,кр(0,05;28)=2,05.
З того, що Tспост>tдвост,кр – нульову гіпотезу про рівність середніх відкидаємо. Інакше кажучи, вибіркові середні розрізняються значимо.
9. Із двох партій виробів, виготовлених на двох однаково налаштованих верстатах, витягнуті малі вибірки, об'єми яких n=10 і m=12. Отримано наступні результати:
контрольований розмір
виробів першого верстата xi 3,4 3,5 3,7 3,9
частота (число виробів) ni 2 3 4 1
контрольований розмір
виробів другого верстата yi 3,2 3,4 3,6
частота mi 2 2 8
Потрібно, при рівні значущості 0,02, перевірити гіпотезу H0: М(Х)=М(Y), про рівність середніх розмірів виробів при конкуруючій гіпотезі H1: М(Х)≠М(Y).
Передбачається, що випадкові величини X і Y розподілені нормально.
Відповідь:
За формулами
та
знайдемо вибіркові середні: = 3,6, = 3,5.
Для спрощення обчислень виправлених дисперсій перейдемо до умовних варіант: ui = 10xi – 36, vi = 10yi – 35.
За формулами
Su2 = та Sv2 =
Знайдемо S2x = 2,67 і S2v = 2,54. Отже,
Таким чином, виправлені дисперсії різні; розглянутий у цьому параграфі критерій припускає, що генеральні дисперсії однакові, тому треба зрівняти дисперсії, використовуючи критерій Фішера-Снедекора. Зробимо це, прийнявши у якості конкуруючої гіпотези H1: D (X) ≠ D(Y).
Знайдемо спостережуване значення критерію
По таблиці знаходимо , Fкр (0,01; 9; 11) = 4,63. Тому що Fспост < Fкр — дисперсії розрізняються не значиме а, отже, можна вважати, що припущення стосовно рівності генеральних дисперсій має місце.
Порівняємо середні, для чого обчислимо спостережуване значення критерію Стьюдента;
Підставивши у цю формулу числові значення, одержимо Tспост = 0,72.
За умовою конкуруюча гіпотеза має вигляд М(Х) ≠ М(Y), тому критична область – двостороння. За рівнем значущості 0,02 і числу степенів вільності k=n+m–2=10+12–2=20 знаходимо по таблицікритичну точку tдвост.,кр(0,02;20)=2,53.
З того, що Tспост < tдвост. кр – робимо висновок про те, що немає підстав відкинути гіпотезу про рівність середніх. Таким чином, середні розміри виробів істотно не розрізняються.
10. З нормальної генеральної сукупності з відомим середнім квадратичним відхиленням σ = 5,2 витягнута вибірка об'єму n = 100 і по ній знайдена вибіркова середня =27,56. Потрібно, при рівні значущості 0,05, перевірити нульову гіпотезу H0:a = а0 = 26 при конкуруючій гіпотезі H1: а≠26.
Відповідь:
Знайдемо спостережуване значення критерію
За умовою конкуруюча гіпотеза має вигляд а≠26 тому критична область – двостороння.
Знайдемо критичну точку з рівності
По таблиці функції Лапласа знаходимо Uкр = 1,96.
Тому що Uспост > uкр— нульову гіпотезу відкидаємо. Інакше кажучи, вибіркова та гіпотетична генеральна середні розрізняються значимо.
11. За вибіркою об'ємом n=16, витягнутої з нормальної генеральної сукупності, знайдені вибіркова середня =118,2 та виправлене середнє квадратичне відхилення =3,6. Потрібно, при рівні значущості 0,05, перевірити нульову гіпотезу Н0: а = а0 = 120 при конкуруючій гіпотезі H1: а ≠ 120.
Відповідь:
Знайдемо спостережуване значення критерію
За умовою конкуруюча гіпотеза має вигляд а ≠ a0, тому критична область – двостороння.
По таблиці критичних точок розподілу Стьюдента, за рівнем значущості α = 0,05, і по числу степенів вільності k=n–1=16–1=15 знаходимо критичну точку tдвост,кр(0,05; 15) = 2,13.
Тому що |Tспост|<tдвост. кр – немає підстав відкинути нульову гіпотезу. Інакше кажучи, вибіркова середня =118,2 не значимо відрізняється від гіпотетичної генеральної середньої a0 = 120.
12. Проектний контрольований розмір виробів, що виготовляють верстатом-автоматом, а = а0 = 35 мм. Виміри 20 випадково відібраних виробів дали наступні результати:
контрольований розмір хi 34,8 34,9 35,0 35,1 35,3
частота (кількість виробів) ni 2 3 4 6 5
Потрібно, при рівні значущості 0,05, перевірити нульову гіпотезу Н0:а = а0 = 35 при конкуруючій гіпотезі Н1: а ≠ 35.
Відповідь:
Знайдемо середній розмір виробів вибірки:
Знайдемо виправлену дисперсію. Для спрощення розрахунку перейдемо до умовних варіантів ui = 10xi – 351. У підсумку одержимо наступний розподіл
ui -3 -2 -1 0 2
ni 2 3 4 6 5
Знайдемо виправлену дисперсію умовних варіант
Su2 = =
Отже, виправлена дисперсія початкових варіант
Звідси виправлене середнє квадратичне відхилення
sx =
Знайдемо спостережуване значення критерію
За умовою конкуруюча гіпотеза має вигляд a ≠ a0 тому критична область -двостороння. По таблиці критичних точок розподілу Стьюдента, за рівнем значущості α=0,05, та по числу степенів вільності k=n–1=20–1=19 знаходимо критичну точку:
tдвост,кр(0,05; 19) = 2,09.
Тому що Tспост > tдвост. кр – нульову гіпотезу відкидаємо. Інакше кажучи, верстат не забезпечує проектного розміру виробів і вимагає налагодження.