Управление и оптимизация / Babenishev - Metodi optimizatsii 2017

11

|| y ||C1 : max{|| y ||C ,|| y ||C}.

Замечание. Функция y, определенная на отрезке [a, b], может рассматриваться как бесконечномерный вектор, с таким же количеством отдельных компонент, сколько существует точек на отрезке [a, b], причем каждая компонента индексируется какой-то точкой x отрезка. Для функций традиционно использовать запись x-ой компоненты, как y(x), а не yx, как для векторов:

y ( , y(x), )a x b .

Сложение и умножение функций на число выполняются покомпонентно, так же, как и соответствующие операции для векторов. Норма бесконечномерного вектора-функции играет роль модуля конечномерного вектора.

Пример. Для функции y sin 3x C1[0,2 ] имеет место (см. рис. 4):

Рис. 4. Графики функции y sin3x и y 3cos3x .

Определение. Допустимая функция yˆ доставляет функционалу J(y) сла-

бый локальный минимум (записывается yˆ wlocmin – от англ. weak local minimum), если существует 0 такое, что

J ( y) J ( yˆ)

для любой допустимой функции y такой, что || y yˆ ||C1 .

12

Аналогично определяется понятие слабого локального максимума (пи-

шется yˆ wlocmax – от англ. weak local maximum).

Определение. Допустимая функция yˆ доставляет слабый глобальный минимум ( yˆ wabsmin – от англ. weak absolute minimum), если

J ( y) J ( yˆ)

для любой допустимой функции y.

Аналогично, для слабого глобального максимума ( yˆ wabsmax – от англ. weak absolute maximum).

Если в качестве допустимого множества брать множество кусочно-непре- рывно дифференцируемых функций KC1[a, b], с нормой || y ||C , то говорят, что задача (1)-(2) даётся в сильной постановке. Соответственно, тогда говорят о

сильном локальных минимуме ( yˆ slocmin ) и максимуме ( yˆ slocmax – от англ. strong local maximum) и сильном глобальном минимуме ( yˆ sabsmin) и максимуме ( yˆ sabsmax ).

Сведем особенности введенных определений в одну таблицу:

Вопросы для самоконтроля:

1.Что такое функционал?

2.Расшифруйте следующие обозначения:

yˆ wlocmin , yˆ wlocmax , yˆ sabsmin yˆ sabsmax .

3. Что обозначает запись C[a, b], C1[a, b], C2[a, b], KC1[a, b]? Приведите примеры функции из каждого класса.

4. Как расшифровывается аббревиатура ПЗВИ?

5. Чем отличаются сильная и слабая постановка задачи ПЗВИ?

13

Вопрос 2. Понятие вариации

Методы решения экстремальных вариационных задач, которые мы будем далее рассматривать, можно соотнести с методами нахождения экстремумов для функций от конечного числа переменных.

Вспомним, что по формуле Тейлора для дважды непрерывно дифференцируемой функции f (x) от конечного вектора переменных x (x1, , xn ) получается разложение (см. также тему 5):

f (x x ) f (x ) f (x ) xT 12 x H f (x) xT o(| x |2 ) .

Необходимым (но не достаточным) условием существования в точке x локального экстремума функции f (x) , является обращение первого дифференциала функции в ноль при любом приращении x :

df (x, x ) f (x) x T 0.

Таким образом, точку, подозрительную на экстремум, обычно находят из условия f (x) 0, а затем проверяют найденную точку на экстремум, исследуя знак второго дифференциала функции:

d 2 f (x, x ) x H f (x ) xT .

Аналогом дифференциала первого порядка в вариационном исчислении является первая вариация функционала.

Определение. Первой вариацией функционала J ( y, ) (в точке y(x) по направлению (x) ) называется разность

J J ( y ) J ( y) ,

где функция (x) C[a,b] , удовлетворяет условиям

(a) (b) 0 .

Функцию (x) называют вариацией функции y(x) и обозначают также

y (рис. 6).

Если в каждой точке x изменять величину функции y(x) не просто на число η(x), а на αη(x), где 0 1, то получим функцию от одной переменной :

y, ( ) J ( y ) - J ( y) .

14

Из условия (3) можно вывести необходимое условие первого порядка существования экстремума функционала (1)-(2) в виде дифференциального урав-

нения – уравнения Эйлера.

Уравнение Эйлера:

f y dxd f y 0 ;

Решения yˆ уравнения Эйлера называются экстремалями. Экстремали yˆ , удовлетворяющие условиям (2):

yˆ(a) A , yˆ(b) B ,

называются допустимыми экстремалями.

Допустимые экстремали – это кандидаты на оптимальное решение задачи

(1)-(2).

Замечание. В общем случае решение задачи (1) с условиями yˆ(x0 ) y0 , yˆ(x1) y1 может не существовать, в отличии от решения соответствующей задачи Коши с условием yˆ(x0 ) y0 (см. рис. 7).

15

Рис. 7. Пример краевых условий, не дающих решения вариационной задачи.

Более подробно, экстремаль (решение уравнения Эйлера) это функция, график которой проходит вдоль векторных линий уравнений Эйлера (показаны на рис. 7 синим). Видно, что не существует допустимой экстремали – экстремали, удовлетворяющей краевым условиям (т.е. проходящей через обе красные точки). В случае, когда точка (x0, y0), задает только начальное условие, то решение существует – достаточно взять функцию, график которой начинается в точке (x0, y0) и проходит вдоль векторной линии.

Вопросы для самоконтроля:

1.Запишите уравнение Эйлера для вариационной задачи.

2.Что такое экстремаль, допустимая экстремаль, экстремум?

3.Чем краевые условия для дифференциального уравнения отличаются от начальных?

Вопрос 3. Условия существования экстремума функционала

В задаче ПЗВИ в слабой постановке, как и в случае экстремальной задачи для функции от конечного числа переменных, необходимое условие первого порядка (уравнение Эйлера) дополняется условиями второго порядка: услови-

– функцию от x, результат подстановки yˆ(x) вместо переменной y и производной yˆ (x) вместо переменной y .

16

Условия Лежандра

Определение. Если для любого x [a,b] на yˆ выполнено условие

Определение. Уравнением Якоби для исходной задачи на экстремали yˆ

называют дифференциально уравнение относительно неизвестной функции h(x) :

Геометрический смысл сопряженности

Геометрически, точка, сопряженная с a точка, это точка пересечения «бесконечно близких» экстремалей, начинающихся в a (рис. 8).

Рис. 8. Точка π, сопряженная 0, для задачи 0 ( y2 y 2 ) 2dx .

Определение. Говорят, что на экстремали xˆ выполнено:

a) условие Якоби, если в интервале (a, b) нет точек, сопряженных a ;

б) усиленное условие Якоби, если в полуинтервале (a, b] нет точек, сопряженных с a.

17

Вопросы для самоконтроля.

1. Какие выводы можно сделать относительно решения ПЗВИ, если при проверке условия Якоби точка b оказалась сопряженной для a?

2.Какие из условий: Эйлера, Лежандра и Якоби являются условиями первого порядка, а какие второго порядка?

3.В чем заключается геометрический смысл сопряженности точек?

Алгоритм решения ПЗВИ на слабый минимум

Уравнение Эйлера и условия Лежандра и Якоби позволяют сформулировать алгоритм решения простейшей задачи вариационного исчисления в слабой постановке.

Решать будем следующую задачу:

План решения.

I. Исходя из необходимого условия 1-го порядка, ищем допустимые экстремали.

1. Найти допустимые экстремали:

а) выписать f (x, y, y ) , вычислить fy и fy ;

б) записать уравнение Эйлера (необходимое условие 1-го порядка) f y dxd f y 0 ;

в) найти его общее решение;

б) записать уравнение Якоби на исследуемой экстремали относительно неизвестной функции h:

в) найти его общее решение;

г) найти частное решение h с начальными данными h(a) 0 , h (a) 1;

д) решить уравнение h(x) = 0 в интервале (a, b], т.е. найти точки, сопря-

женные с a;

е) если

(i)в интервале (a, b) есть сопряженные с a точки, то условие Якоби не выполняется и yˆ wlocmin ,

(ii)если в полуинтервале (a, b] нет сопряженных точек, то выполня-

ется усиленное условие Якоби и yˆ wlocmin .

Замечание. Для решения задачи ПЗВИ на супремум

можно либо

1) переписать (3) в виде

2) или в пунктах 2б)(i) и 2б)(ii) заменить знаки неравенств на противоположные.

Рассмотрим использование алгоритма решения ПЗВИ на примере.

Пример 1. Решить задачу ПЗВИ:

Решение. Решаем задачу, следуя пунктам алгоритма: I.1. a) Вспомогательные вычисления:

19

б) Уравнение Эйлера:

г) Нахождение частного решения исходя из конечных условий:

экстремаль.

II.2. а) Вспомогательные вычисления:

б) (ii) fy y 2 0 – выполнено усиленное условие Лежандра. 3. а) Вспомогательные вычисления:

III. Покажем, что максимум функционала равен +∞.

Для этого рассмотрим последовательность функций yn (x) cn x nx2 , где константы cn выберем из условия yn(1) = 1, т.е.

Таким образом, все функции yn (n 1)x nx2 , n = 1, 2,… являются допустимыми для данной задачи.

Вычислим значение функционала J на функциях yn:

20

61n [((n 1) 2n)3 (n 1)3 ]

61n [(1 n)3 (1 n)3 ] [a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )]

1 2n(1 2n n2 1 n2 1 2n n2 ) n2 3 . 6n 3 n

Обобщением уравнений Эйлера, являются уравнения Лагранжа 2-го рода, используемые в механике для исследования динамики механических систем.

Пример 2. Имеется аварийно-спасательное устройство эвакуации, состоящее из противовеса, массивного блока и загруженной спасательной кабины (рис. 9). Найти

1)уравнение x(t) движения кабины,

2)время спуска tсп до земли и скорость vсп в конце спуска,

3)время спуска tсв и скорость vсв в конце спуска при свободном падении кабины, при условии, что

M1 100 кг , M2 50 кг , M3 200 кг , h 10 м , g = 10 м/с2.

Весом каната и трением пренебречь, канат на блоке не проскальзывает. Решение. Имеем

как её состояние может однозначно определяться или углом φ поворота блока, или перемещением центра тяжести кабины/противовеса вдоль оси x (которая в данном примере направлена вертикально вверх).

Примем за обобщенную координату данной системы перемещение x, т.е.

q x .

Так как рассматриваемая система имеет одну степень свободы, то она определяется одним уравнением: