3.1.4.2 Нормальная форма представления числа в памяти эвм

Число можно представить в различной форме записи, например:

A = 55,25 = 5525 · 10^-2 = 0,5525 · 10² = 0,005525 · 10⁴.

Зн mA	Зн PA	PA	mA
0	1	2 … 7	8 9 … 30 31

Рисунок 1 – Формат числа в нормальной форме

Любое число в нормальной форме представляется в виде:

, (1.12)

где m_A – мантисса числа A;

q – основание системы счисления;

P_A – порядок.

Для однозначности представления чисел используется нормализованная форма, при которой мантисса должна отвечать условию:

(1.13)

Ограничение справа требует, чтобы мантисса представлялась правильной дробью, ограничение слева – чтобы после запятой присутствовала значащая цифра (не 0).

Нормальную форму называют также полулогарифмической или с плавающей запятой, положение которой определяется порядком, а также экспоненциальной.

Для представления чисел в нормальной форме используются фиксированные форматы разной длины. В разрядной сетке форматов отводятся места для знака мантиссы (нулевой разряд), знака порядка (первый разряд), значения порядка (6 разрядов, со 2-го по 7-й), в остальные разряды записывается мантисса числа. В других форматах первый байт не изменяется, а увеличивается область под мантиссу. На рисунке 1 представлена разрядная сетка в формате 4 байта.

Диапазон представления чисел можно оценить по максимальному значению:

, (1.14)

где m_max =1 – 2^-24, P_max = 2⁶ –1 = 63.

Например, при q = 2:

A_max = (1 – 2^-24) · 2⁶³  1 · 2⁶³ = (2¹⁰)⁶ · 2³  (10³)⁶ · 2³  10¹⁹.

По сравнению с естественной формой, диапазон представления чисел в нормальной форме при той же разрядной сетке увеличился на 10 порядков. Для примера рассмотрим форматы представления числа в ЭВМ: короткий E (4 байта), длинный D (8 байт) и повышенной точности (16 байт).

Особенностями нормальной формы в ЭВМ являются следующие:

1. Смещение числовой оси порядков в область положительных значений для облегчения действий над порядками, не имеющими знака. Обычно 7 разрядов (рисунок 1) отводится под значение порядка и его знак.

Следовательно, числовая ось порядков находится в диапазоне –2⁶  P  2⁶ –1 или –64  P  63 (P – порядок числа).

Смещенный порядок (называемый характеристикой) определяется его смещением на +2⁶ =64₁₀ = 40₁₆. В этом случае характеристика P_x = P + 40 не имеет знака.

Теперь характеристика может принимать значения в диапазоне

0  P_x  127 =7F₁₆

и под ее значение, как уже было сказано, отводятся 7 разрядов (максимальное значение порядка 2⁷ – 1 = 127). Очевидно, если P_x = 40, то P = 0, если P_x < 40, то порядок отрицательный P < 0, при P_x > 40 – порядок положительный P > 0. Если P_x < 0 или P_x > 7F, то значение характеристики пропадает и результаты искажаются.

2. Мантиссы и порядки чисел выражаются в шестнадцатеричной системе счисления в двоичном виде, что обеспечивает увеличение диапазона представления чисел, так как изменение характеристики на 1 приводит к сдвигу мантиссы на одну шестнадцатеричную цифру, т.е. сразу на одну двоичную тетраду. Действительно, если учесть, что q = 16, то

A_max = (1 – 16^-6) · 16⁶³  1 · (2⁴)⁶³  (10¹⁹)⁴ = 10⁷⁶.

Таким образом, значение порядка увеличилось в 4 раза.

Представим в разрядной сетке формата E два числа (знак ~ обозначает равенство чисел в разных системах счисления):

A₁₀ = 32008,5 ~ A₁₆ = 7D08,8

и

B₁₀ = – 32008,5 ~ B₁₆ = – 7D08,8.

Для этого найдем нормализованные мантиссы и характеристики:

m_A = 0,7D08,8, P_XA = 40 + 4 = 44;

m_B = – 0,7D08,8, P_XB = 40 + 4 = 44 (рисунок 2).

Знак	Характеристика		Дробная часть мантиссы
0	100	0100	0111	1101	0000	1000	1000	0000
	44		7D		08		80
1	100	0100	0111	1101	0000	1000	1000	0000
	C4		7D		08		80

Рисунок 2 – Представление чисел A и B в формате E и их коды

Здесь так же, как и при естественной форме хранения числа, его знак определяется по первой шестнадцатеричной цифре кода.

Таким образом две первые шестнадцатеричные цифры кода числа с плавающей запятой определяют характеристику P_x с учетом знака числа (0 или 1 в старшем разряде первой двоичной тетрады). Для положительных чисел две первые шестнадцатеричные цифры кода числа образуются как сумма P_x + 00₁₆, а для отрицательных – P_x + 80₁₆.

Представим в разрядной сетке (рисунок 3) два других числа:

C₁₀ = 0,015625 ~ C₁₆ = 0,04;

D₁₀ = – 0,015625 ~ D₁₆ = – 0,04.

Знак	Характеристика		Дробная часть мантиссы
0	011	1111	0100	0000	0100	0000	0100	0000
	3F		40		00		00
1	011	1111	0100	0000	0100	0000	0100	0000
	BF		40		00		00

Рисунок 3 – Представление чисел С и D в разрядной сетке и их коды

Для этого найдем нормализованные мантиссы, порядки и характеристики этих чисел:

m_C = 0,4; P_С = –1; P_XC = 40 – 1 = 3F; с учетом знака P_XC + 00₁₆ = 3F;

m_D = –0,4; P_D = –1; P_XD = 40 – 1 = 3F; с учетом знака P_XD + 80₁₆ = BF.

По шестнадцатеричному коду числа с плавающей запятой нетрудно определить и само десятичное число.

Рассмотрим примеры кодов чисел, представленных на рисунках 2 и 3.

Пример 1.10.

Код числа A₁₆ = 447D0880.

Характеристика с учетом знака = 44, первая цифра 4 < 8. Поэтому, число положительное, характеристика P_XA = 44₁₆ – 00₁₆ = 44₁₆, порядок числа P_A = 44₁₆ – 40₁₆ = 4₁₆, а мантисса числа m_A = 0,7D088₁₆. Таким образом, число A₁₆ = m_A  = 0,7D088  16⁴ = 7D08,8. Следовательно,

A₁₀ = 7  16³ + 13  16² + 8  16⁰ + 8  16^–1 = 28672 + 3328 + 8 + 0,5 = 32008,5.

Код числа B₁₆ = C47D0880.

Характеристика с учетом знака = C4, первая цифра C > 7. Поэтому, число отрицательное, характеристика P_XB = С4₁₆ – 80₁₆ = 44₁₆, порядок числа P_B = 44₁₆ – 40₁₆ = 4₁₆, а мантисса числа m_B = –0,7D088₁₆. Вычисления аналогичны, следовательно, B₁₆ = –7D08,8, а B₁₀ = –32008,5.

Код числа С₁₆ = 3F4400000.

Характеристика с учетом знака = 3F, первая цифра 3 < 8. Поэтому, число положительное, характеристика P_XС = 3F₁₆ – 00₁₆ = 3F₁₆, порядок числа P_C = 3F₁₆ – 40₁₆ = –1₁₆, а мантисса числа m_C = 0,4₁₆. Таким образом, число C₁₆ = m_C  = 0,4  16^–1 = 0,04₁₆. Следовательно, C₁₀ = 4  16^–2 = = = 0,015625.

Код числа D₁₆ = BF4400000.

Характеристика с учетом знака = BF, первая цифра B > 7. Поэтому, число отрицательное, характеристика P_XD = BF₁₆ – 80₁₆ = 3F₁₆, порядок числа P_D = 3F₁₆ – 40₁₆ = –1₁₆, а мантисса числа m_D = –0,4₁₆. Таким образом, число D₁₆ = m_D  = –0,4  16^–1 = –0,04₁₆. Следовательно, D₁₀ = –4  16^–2 = = = –0,015625.