3.2.3.2 Действия над числами, представленными в нормальной форме

При алгебраическом сложении чисел, представленных в нормальной форме, необходимо учитывать:

1. Числа в нормальной форме хранятся в памяти в прямом коде с нормализованными мантиссами.

2. Сложение кодов чисел производится путем сложения мантисс только при одинаковых порядках (характеристиках) слагаемых. За общий выбирается наибольший порядок. Выравнивание порядков слагаемых осуществляется изменением мантиссы меньшего числа.

Пусть А = m_A · q^P_A, B = m_B · q^P_B и P_A > P_B, тогда разность порядков ∆P = P_A – P_B и P_B = P_A – ∆P.

C = A + B = m_A · q^P_A + m_B · q^P_B = m_A · q^P_A + m_B · q^P_A^-∆P =

= m_A · q^P_A + m_B · q^-∆P · q^P_A = (m_A + m^*_B) q^P_A,

где m^*_B = m_B · q^-∆P – мантисса, приведенная к большему порядку путем ее сдвига вправо на ∆P разрядов основания q.

3. При сложении мантисс с одинаковыми знаками возможно переполнение разрядной сетки, что является признаком нарушения нормализации.

4. Результаты в прямом коде нормализуются.

5. действия в сумматоре выполняются только над кодами мантисс, которые поступают из регистров слагаемых в младшие 24 разряда сумматора, знаки мантисс и значения характеристик заносятся в специальные схемы, которые обеспечивают выравнивание характеристик, нормализацию мантиссы результата, формирование знака и характеристики суммы. В старшие разряды (0-7) сумматора вводятся нули.

6. Алгоритмы операции алгебраического сложения после выравнивания характеристик зависят от знаков слагаемых:

а) если знаки слагаемых одинаковы (положительные или отрицательные), то модули мантисс (прямые коды) суммируются. Переполнение определяется наличием переноса 1 из старшего разряда мантиссы в 7-й разряд регистра результата сумматора (в поле характеристики), что вызывает нарушение нормализации мантиссы влево. Нормализация результата производится в регистре сдвигом мантиссы на одну шестнадцатеричную цифру вправо. Старшая тетрада мантиссы при этом заполняется 0001, а характеристика результата сумматора формируется результат операции: из схем анализа знаков и характеристик заносятся в нулевой разряд знак одного из слагаемых, в 1 – 7 разряды – характеристика, а в 8 – 31 разрядах сохраняется мантисса суммы в прямом коде.

б) если знаки слагаемых различны, то отрицательная мантисса преобразуется в дополнительный код и мантиссы суммируются. Признаком положительного результата является перенос 1 из старшего разряда мантиссы в 7-й разряд суммы, которая стирается. Признаком отрицательного результата – отсутствие переноса 1 в 7-й разряд, при этом мантисса суммы представлена в дополнительном коде и должна быть преобразована в прямой код. При сложении кодов чисел с разными знаками может произойти нарушение нормализации мантиссы суммы вправо (старшая шестнадцатеричная цифра мантиссы в прямом коде равна нулю).

Нормализация мантиссы суммы производится сдвигом ее влево на одну шестнадцатеричную цифру и уменьшением характеристики на единицу. После этого в регистре сумматора формируется результат: в нулевой разряд заносится знак большего по модулю слагаемого, в 1 – 7 разряды – характеристика и в 8 – 31 разряды – мантисса результата в прямом коде.

Реализацию этих положений рассмотрим на примерах.

Замечание. При действиях над кодами мантисс знаки не указываются, перед старшими разрядами мантисс через запятую сверху записывается два шестнадцатеричных нуля вместо характеристики и знака мантиссы.

Пример 2.6. Дано: А = 15 7/8, В = 5/16. Найти C₁ = A + B, C₂ = – A – B.

Решение.

А₁₆ = F,E; B₁₆ = 0,5.

а) Нормализация мантисс и определение характеристик:

m_A = 0,FE; P_XA = 40 + 1 = 41;

m_B = 0,5; P_XB = 40 + 0 = 40.

б) Выравнивание характеристик:

∆P = 41 – 40 = 1; m^*_B = m_B · 16^-∆P = m_B · 16^–1 = 0,05.

б) Выполнение действий:

Вычислим сначала C₁ = A + B:

[ + mA]пк = 00’FE0000; [mB]пк = 00’050000;	PXА = 41 PXB = 41
[mС1]пк = 01’030000;	PXС1 = 41.

Так как слагаемые имеют одинаковые знаки, то перенос единицы из старшего разряда мантиссы характеризует переполнение разрядной сетки, что является нарушением нормализации мантиссы результата влево.

Нормализация мантиссы:

[m_С1]_пк = 00’103000; P_С1 = 41 + 1 = 42.

Проверка. С₁ = 10,3 = 16 3/16; С₁ = 15 7/8 + 5/16 = 16 3/16.

В разрядной сетке регистра сумматора формируется результат действия: заносятся знак результата (+), характеристика (42) и сохраняется мантисса в прямом коде.

Ответ.

С₁ → 0 1000010 000100000011000000000000

З_н P_XC1 m_С1

или С₁ → 42103000.

Теперь найдем C₂ = – A – B.

Так как числа A и B и результат C₂ хранятся в прямом коде, то нет необходимости выполнять двойное преобразование: данных в дополнительный, а результат в прямой коды. Поэтому действие выполняется C₂ = – (A + B), т.е. производится сложение прямых кодов мантисс, а результату приписывается знак одного из чисел (минус), т.е. C₂ = – С₁.

Ответ.

С₂ → 1100 0010 0001 0000 0011 0000 0000 0000

или С₂ → С2103000.

Пример 2.7. Дано: А = 15 7/8, В = 5/16. Найти C₃ = A – B, C₄ = B – A.

Решение.

m^*_B = 0,05; P_XB = 41; [– m^*_B]_доп = 100 – 0,05 = 0, FB; [– m^*_B]_дк = 00’FB0000.

m^*_А = 0,FB; P_XA = 41; [– m^*_A]_дк = 00’020000.

Вычислим сначала C₃ = A – B:

+ [mA]пк = 00’FE0000; [–m*B]дк = 00’FB0000;	PXА = 41 PXB = 41
[mС3]дк = 01’F90000 > 0;	PXС3 = 41.

Так как слагаемые с разными знаками, то единица переноса из старшего разряда является признаком положительного результата и стирается, компенсируя константу дополнительного кода.

Проверка. С₃ = F,9 = 15 9/16.

Ответ.

С₃ → 0100 0001 1111 1001 0000 0000 0000 0000

или С₃ → 41F90000.

Теперь найдем C₄ = B – A.

+ [m*B]пк = 00’050000; [–mA]дк = 00’020000;	PXB = 41 PXA = 41
[mС4]дк = 00’070000 < 0;	PXС4 = 41.

Так как слагаемые с разными знаками и перенос из старшего разряда отсутствует, то результат отрицательный в дополнительном коде и должен быть представлен в прямом коде.

[m_С4]_пк = 00’F90000; P_XС4 = 41.

Проверка. С₄ = – F,9 = – 15 9/16.

Ответ.

С₄ → 1100 0001 1111 1001 0000 0000 0000 0000

или С₄ → C1F90000.

Пример 2.8. Дано: А = 129, В = 115 3/4. Найти C₁ = A – B, C₂ = B – A.

Решение.

а) Нормализация мантисс и определение характеристик:

m_А = 0,81; P_XA = 40 + 2 = 42;

m_B = 0,73С; P_XB = 40 + 2 = 42.

б) Выполнение действий:

Вычислим C₁ = A – B:

+ [mA]пк = 00’810000; [–m*B]дк = 00’8C4000;	PXА = 42 PXB = 42
[mС1]дк = 01’0D4000 > 0;	PXС1 = 42.

Единица переноса стирается, результат положительный, но произошло нарушение нормализации вправо.

Нормализация мантиссы:

[m_С1]_пк = 00’D40000; P_XС1 = 42 – 1 = 41.

Проверка. С₁ = D,4 = 13 1/4.

Ответ.

С₁ → 0100 0001 1101 0100 0000 0000 0000 0000

или С₃ → 41D40000.

Вычислим C₂ = B – A:

+ [mB]пк = 00’73C000; [–m*A]дк = 00’7F0000;	PXА = 42 PXB = 42
[mС2]дк = 00’F2C000 < 0;	PXС2 = 42.

Так как З_н A ≠ З_н B и перенос отсутствует из старшего разряда, то результат отрицательный, представлен в дополнительном коде и должен быть преобразован в прямой код.

[m_С2]_пк = 00’0D4000; P_XС2 = 42.

Старшая тетрада мантиссы равна нулю – нарушение нормализации вправо.

Нормализация мантиссы:

[m_С2]_пк = 00’D40000; P_XС2 = 42 – 1 = 41.

Ответ.

С₂ → 1100 0001 1101 0100 0000 0000 0000 0000

или С₂ → С1D40000.

Замечание. При выполнении операций умножения и деления порядки не выравниваются, нормализованные мантиссы чисел умножаются или делятся, порядки соответственно складываются или вычитаются, а знаки произведения и частного определяются, как и в естественной форме, сложением по модулю 2 знаков сомножителей или делимого и делителя. Пример решения задачи по переводу числа из одной системы счисления в другую приведен в приложении В.