- •Министерство общего и профессионального образования рф
- •1. Математические основы теории массового обслуживания
- •1.1. Предмет теории массового обслуживания
- •1.2. Основы марковских процессов.
- •1.3. Предельные вероятности состояний
- •1.4. Простейший поток событий
- •1.5. Потоки Пальма и Эрланга
- •2. Модели систем массового обслуживания при пуассоновских потоках заявок
- •2.1. Модели систем массового обслуживания с отказами
- •2.2. Модели систем с очередями
- •2.3. Модель замкнутой системы
- •2.4. Модели систем с различными дисциплинами подключения каналов к обслуживанию
- •3. Модели непуассоновских систем массового обслуживания и стохастических сетей
- •3.1. Модели систем с непуассоновскими потоками заявок
- •3.2. Модели многофазных систем
- •3.3. Модели сетей массового обслуживания
1.2. Основы марковских процессов.
Уравнения Колмогорова
Состояние СМО определяется количеством занятых каналов обслуживания и числом мест в очереди. Естественно, что эти параметры являются целочисленными и меняются скачкообразно в случайные моменты времени, определяемые появлением заявок во входном потоке. Исследование такой системы существенно упрощается, если переход СМО из одного состояния в другое может быть описан марковским процессом.
Определение марковского процесса. Пусть имеется система S, состояние которой изменяется во времени случайным, непредсказуемым образом и представляет собой случайный процесс. Этот процесс называется марковским, если для каждого момента времени t0 вероятность любого состояния при t > t0 (в будущем) зависит только от вероятности, состояния в момент t0 (в настоящем) и не зависит от вероятностей состояний при t < t0 (в прошлом).
Иными словами, свойство марковского процесса заключается в том, что на вероятности достижений будущих состояний "предыстория" процесса не оказывает никакого влияния. Если некоторая система меняет свое состояние скачкообразно, причем переходы из одного состояния в другое обладают марковским свойством, то случайный процесс в такой системе называется марковской цепью.
Марковская цепь называется дискретной, если переход из одного состояния в другое происходит в строго фиксированные промежутки времени, отделенные друг от друга равными интервалами. Если же эти переходы возможны в любой момент времени t, то соответствующая марковская цепь называется непрерывной. Переход из одного состояния в другое может быть отображен графом состояний, в котором вершины представляют собой возможные состояния системы, а дуги графа отражают переходы из одного состояния в другое. Если две вершины i и j соединяются дугой (i,j), то это означает, что возможен непосредственный переход из состояния i в состояние j. Марковская цепь может, таким образом, быть представлена как случайное блуждание на графе состояний системы.
Поскольку переход из одного состояния в другое для СМО возможен в любой момент времени, определяемый появлением заявки во входном потоке, то для изучения СМО применяются непрерывные марковские цепи.
Одна из важнейших задач теории марковских процессов вообще и ТМО в частности заключается в нахождении вероятностей состояний цепи. Эти вероятности для непрерывных марковских цепей определяются с помощью дифференциальных уравнений Колмогорова.
Рис.1.1
Рассмотрим некоторую произвольную систему, граф состояний которой приведен на рис.1.1. Система имеет n состояний S1,S2,...,Sn. Процесс перехода из одного состояния в другое описывается непрерывной цепью Маркова. Пусть Pi(t) - вероятность того, что в момент времени t система будет находиться в состоянии Si (i=1,2,…,n). Поскольку система не может находиться одновременно в двух состояниях, то события, заключающиеся в нахождении системы в состояниях S1,S2,…,Sn, несовместны и образуют полную систему событий. Отсюда следует
(1.1)
Это соотношение называется условием нормировки. Задача заключается в определении вероятности любого состояния Pi(t) в любой момент времени t.
Введем понятие вероятности перехода системы из состояния i, где она находилась в момент времени t, в состояние j за время t Pij(t,t). Очевидно, что Pij(t,t) представляет собой условную вероятность того, что в момент времени t + t система окажется в состоянии Sj при условии, что в момент времени t она находилась в состоянии Si: pij(t,t)= p(Sj(t+t)/Si(t)).
Предел отношения вероятности перехода pij(t,t) к длине интервала времени t назовем плотностью вероятности перехода
. (1.2)
Плотность вероятности перехода определим только для случаев ij.
Если ij(t)=const, то марковская цепь называется однородной. В противном случае, когда ij(t) являются функциями времени, цепь называется неоднородной. При расчетах вероятностей состояний марковской цепи предполагается, что все эти плотности вероятностей переходов ij известны. Если у каждой дуги графа состояний системы проставить плотность вероятности перехода по данной дуге, то полученный граф назовем размеченным графом состояний (см.рис.1.1). Уравнения Колмогорова составляются в соответствии с размеченным графом состояний. Рассмотрим фрагмент размеченного графа состояний (рис.1.1), обведенный штрихпунктирной линией. Отбросим вначале дуги, изображенные пунктиром, и определим вероятность нахождения системы в состоянии Si в момент времени t+t. С учетом того, что вершина Si связана только с вершинами Sk и Sj, указанное событие будет иметь место в двух случаях:
- система находилась в состоянии Si в момент времени t и за время t из этого состояния не вышла;
- система находилась в состояния sk в момент времени t и за время t перешла из Sk в Si.
Если отрезок t достаточно мал, то вероятность перехода pij(t,t) может быть определена приближенно с помощью (1.2)
pij(t,t) ij(t)t (1.3)
С учетом (1.3) и свойства марковости процесса вероятность первого случая (отсутствие перехода по дуге (Si,Sj))
pI = (1-ij(t)t)pi(t).
Вероятность второго случая с учетом (1.3)
pII ki(t)pk(t).
Тогда можно определить искомую вероятность как
pi(t+t)= pI + pII = (1-ij(t)t)pi(t) + ki(t)pk(t)tpk(t)
или
(1.4)
Переходя в (1.4) к пределу при t 0, получим
. (1.5)
Теперь добавим к вершине Si дуги, обозначенные на рис.1.1 пунктиром. Тогда при вычислении pi(t+t) необходимо учитывать возможный переход из Si в Sj и Sr и переходы из Sk и Sl в Si. В этом случае
PI = [1-(ij(t)+ir)t]p1(t),
PII = k1(t)tpk(t)+l1(t)tp1(t).
Повторяя вышеописанные рассуждения, получим
. (1.6)
На основании (1.5) и (1.6) можно сформулировать правила составления уравнений Колмогорова по размеченному графу состояний непрерывной марковской цепи:
1. Система дифференциальных уравнений Колмогорова имеет форму Коши. Каждое уравнение составляется с помощью рассмотрения вероятности состояния, представленного соответствующей вершиной в размеченном графе. Число уравнений системы равно числу вершин графа.
2. Число слагаемых правой части каждого уравнения равно числу дуг, инцидентных соответствующей вершине.
3. Дугам с положительной инциденцией соответствуют отрицательные слагаемые, а дугам с отрицательной инциденцией - положительные.
4. Каждое слагаемое правой части равно произведению вероятности состояния, соответствующего началу рассматриваемой дуги, на плотность вероятности перехода по данной дуге.
Начальные условия для системы уравнений Колмогорова определяются начальным состоянием системы. Например, если начальное состояние было S2 , то начальные условия имеют вид: p1(0)=0; р2(0)=1; р3(0)=0;…;рn(0)=0. Уравнения (1.5) и (1.6) были выведены для общего случая неоднородной марковской цепи. Для однородной марковской цепи все ij(i,j=l,…,n) постоянны.
Рассмотрим одно важное свойство уравнений Колмогорова (1.5), которое может быть представлено в виде
, (1.7)
где -n-мерный вектор вероятностей состояний системы; р = {p1(t),…,pn(t)}; - nn-матрица плотностей перехода.
В соответствии с вышеописанными правилами составления уравнений Колмогорова одна и та же плотность вероятности перехода ij будет входить в одно из уравнений со знаком "+", а в другое - со знаком "-", поскольку для двух смежных вершин дуга, соединяющая их, будет обладать положительной инциденцией по отношению к одной вершине и отрицательной по отношению к другой. Это приведет к тому, что сумма всех элементов в каждом столбце матрицы будет равна нулю. Тогда любая строка матрицы будет равна сумме остальных строк. Следовательно, матрица является всегда вырожденной. Более строго это свойство доказывается в [7] .
Рассмотрим систему с размеченным графом состояний, изображенным на рис. 1.2. Система уравнений Колмогорова и матрица для этого случая в соответствии с правилами 1-4 будут иметь вид:
dp1/dt=-(12+13)p1+41p4,
dp2/dt=12p1-25p2+32p3,
dp3/dt=13p3-(32+34)p3+53p5,
dp4/dt=34p1-(41+45)p4,
dp5/dt=25p2+45p4-53p5.
Исключение любого уравнения из этой системы нарушает указанное соотношение для строк матрицы , следовательно, ранг матрицы будет равен n-1. Для того чтобы система уравнений Колмогорова имела единственное решение при заданных начальных условиях, необходимо исключить любое из уравнений системы (1.7) и заменить его условием нормировки (1.1).
Итак, решение системы (1.7) без одного уравнения (безразлично какого) с условием (1.1) определяет в любой момент времени поведение вероятностей состояний марковской цепи при заданных начальных условиях.
Рис.1.2
Получить это решение можно с помощью любых численных методов (например, Рунге-Кутта, Эйлера-Коши и т.д.), реализуемых на ЭВМ. Только в самых простых случаях система уравнений Колмогорова может быть проинтегрирована в квадратурах. В большинстве практических случаев для расчета вероятностей состояний используются не решения систем уравнений Колмогорова в любой момент времени, а асимптотические оценки этих решений при t.